Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 170 / 234
↖ ↑ ↗
← S 81.518272°
E 59.062500°		 ← 23.063 km → S 81.518272°
E 60.468750°		 →
↑
22.786 km
↓
↑
22.786 km
↓
S 81.723188°
E 59.062500°		 ← 22.510 km →
519.209 km²		 S 81.723188°
E 60.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.666015625 y=0.916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.666015625 × 28)
    floor (0.666015625 × 256)
    floor (170.5)     		tx = 170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916015625 × 28)
    floor (0.916015625 × 256)
    floor (234.5)     		ty = 234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 170 / 234 ti = "8/170/234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/170/234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 170 ÷ 28
    170 ÷ 256     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 234 ÷ 28
    234 ÷ 256     		y = 0.9140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9140625 × 2 - 1) × π
    -0.828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60163141617969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60163141617969))-π/2
    2×atan(0.0741525058836444)-π/2
    2×0.0740170410122265-π/2
    0.148034082024453-1.57079632675     		φ = -1.42276224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42276224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.518272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 170 KachelY 234 1.03083509 -1.42276224 59.062500 -81.518272
    Oben rechts KachelX + 1 171 KachelY 234 1.05537878 -1.42276224 60.468750 -81.518272
    Unten links KachelX 170 KachelY + 1 235 1.03083509 -1.42633870 59.062500 -81.723188
    Unten rechts KachelX + 1 171 KachelY + 1 235 1.05537878 -1.42633870 60.468750 -81.723188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42276224--1.42633870) × R
    0.00357646000000011 × 6371000     		dl = 22785.6266600007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42276224--1.42633870) × R
    0.00357646000000011 × 6371000     		dr = 22785.6266600007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.05537878) × cos(-1.42276224) × R
    0.02454369 × 0.147494006831501 × 6371000     		do = 23063.3205871582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.05537878) × cos(-1.42633870) × R
    0.02454369 × 0.143955726994628 × 6371000     		du = 22510.0473799417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42276224)-sin(-1.42633870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147494006831501-0.143955726994628)×R²
    abs(1.05537878-1.03083509)×0.00353827983687319×R²
    0.02454369×0.00353827983687319×6371000²
    0.02454369×0.00353827983687319×40589641000000     		ar = 519209427.505596m²