Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 170 / 58
↖ ↑ ↗
← N 69.657086°
E 59.062500°		 ← 54.359 km → N 69.657086°
E 60.468750°		 →
↑
54.989 km
↓
↑
54.989 km
↓
N 69.162558°
E 59.062500°		 ← 55.623 km →
3 023.93 km²		 N 69.162558°
E 60.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.666015625 y=0.228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.666015625 × 28)
    floor (0.666015625 × 256)
    floor (170.5)     		tx = 170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228515625 × 28)
    floor (0.228515625 × 256)
    floor (58.5)     		ty = 58
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 170 / 58 ti = "8/170/58"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/170/58.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 170 ÷ 28
    170 ÷ 256     		x = 0.6640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58 ÷ 28
    58 ÷ 256     		y = 0.2265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6640625 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03083509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2265625 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03083509} λ = 1.03083509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71805848238281))-π/2
    2×atan(5.57369652248446)-π/2
    2×1.39327091479381-π/2
    2.78654182958763-1.57079632675     		φ = 1.21574550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03083509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21574550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.657086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 170 KachelY 58 1.03083509 1.21574550 59.062500 69.657086
    Oben rechts KachelX + 1 171 KachelY 58 1.05537878 1.21574550 60.468750 69.657086
    Unten links KachelX 170 KachelY + 1 59 1.03083509 1.20711435 59.062500 69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 171 KachelY + 1 59 1.05537878 1.20711435 60.468750 69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21574550-1.20711435) × R
    0.00863115000000003 × 6371000     		dl = 54989.0566500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21574550-1.20711435) × R
    0.00863115000000003 × 6371000     		dr = 54989.0566500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03083509-1.05537878) × cos(1.21574550) × R
    0.02454369 × 0.347638022352561 × 6371000     		do = 54359.4097824074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03083509-1.05537878) × cos(1.20711435) × R
    0.02454369 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 55622.8253564564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21574550)-sin(1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347638022352561-0.355717787996262)×R²
    abs(1.05537878-1.03083509)×0.00807976564370155×R²
    0.02454369×0.00807976564370155×6371000²
    0.02454369×0.00807976564370155×40589641000000     		ar = 3023928452.03259m²