Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17153 / 16129
↖ ↑ ↗
← N  2.800398°
E  8.448486°		 ← 1 220.18 m → N  2.800398°
E  8.459473°		 →
↑
1 220.17 m
↓
↑
1 220.17 m
↓
N  2.789425°
E  8.448486°		 ← 1 220.19 m →
1 488 839 m²		 N  2.789425°
E  8.459473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523483276367188 y=0.492233276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523483276367188 × 215)
    floor (0.523483276367188 × 32768)
    floor (17153.5)     		tx = 17153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492233276367188 × 215)
    floor (0.492233276367188 × 32768)
    floor (16129.5)     		ty = 16129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17153 / 16129 ti = "15/17153/16129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17153/16129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17153 ÷ 215
    17153 ÷ 32768     		x = 0.523468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16129 ÷ 215
    16129 ÷ 32768     		y = 0.492218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523468017578125 × 2 - 1) × π
    0.04693603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14745390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492218017578125 × 2 - 1) × π
    0.01556396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0488956376124573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14745390} λ = 0.14745390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0488956376124573))-π/2
    2×atan(1.05011075295582)-π/2
    2×0.809836246448998-π/2
    1.619672492898-1.57079632675     		φ = 0.04887617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14745390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.448486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04887617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.800398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17153 KachelY 16129 0.14745390 0.04887617 8.448486 2.800398
    Oben rechts KachelX + 1 17154 KachelY 16129 0.14764565 0.04887617 8.459473 2.800398
    Unten links KachelX 17153 KachelY + 1 16130 0.14745390 0.04868465 8.448486 2.789425
    Unten rechts KachelX + 1 17154 KachelY + 1 16130 0.14764565 0.04868465 8.459473 2.789425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04887617-0.04868465) × R
    0.000191519999999994 × 6371000     		dl = 1220.17391999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04887617-0.04868465) × R
    0.000191519999999994 × 6371000     		dr = 1220.17391999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14745390-0.14764565) × cos(0.04887617) × R
    0.000191749999999991 × 0.998805797765283 × 6371000     		do = 1220.18036567757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14745390-0.14764565) × cos(0.04868465) × R
    0.000191749999999991 × 0.998815136484739 × 6371000     		du = 1220.1917742238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04887617)-sin(0.04868465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998805797765283-0.998815136484739)×R²
    abs(0.14764565-0.14745390)×9.33871945585363e-06×R²
    0.000191749999999991×9.33871945585363e-06×6371000²
    0.000191749999999991×9.33871945585363e-06×40589641000000     		ar = 1488839.22465195m²