Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 172 / 228
↖ ↑ ↗
← S 80.178713°
E 61.875000°		 ← 26.673 km → S 80.178713°
E 63.281250°		 →
↑
26.353 km
↓
↑
26.353 km
↓
S 80.415708°
E 61.875000°		 ← 26.035 km →
694.491 km²		 S 80.415708°
E 63.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.673828125 y=0.892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.673828125 × 28)
    floor (0.673828125 × 256)
    floor (172.5)     		tx = 172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.892578125 × 28)
    floor (0.892578125 × 256)
    floor (228.5)     		ty = 228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 172 / 228 ti = "8/172/228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/172/228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 172 ÷ 28
    172 ÷ 256     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 228 ÷ 28
    228 ÷ 256     		y = 0.890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.890625 × 2 - 1) × π
    -0.78125 × 3.1415926535     		Φ = -2.45436926054687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45436926054687))-π/2
    2×atan(0.0859173698292689)-π/2
    2×0.085706893142233-π/2
    0.171413786284466-1.57079632675     		φ = -1.39938254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39938254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.178713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 172 KachelY 228 1.07992247 -1.39938254 61.875000 -80.178713
    Oben rechts KachelX + 1 173 KachelY 228 1.10446617 -1.39938254 63.281250 -80.178713
    Unten links KachelX 172 KachelY + 1 229 1.07992247 -1.40351887 61.875000 -80.415708
    Unten rechts KachelX + 1 173 KachelY + 1 229 1.10446617 -1.40351887 63.281250 -80.415708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39938254--1.40351887) × R
    0.00413633000000013 × 6371000     		dl = 26352.5584300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39938254--1.40351887) × R
    0.00413633000000013 × 6371000     		dr = 26352.5584300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.10446617) × cos(-1.39938254) × R
    0.0245436999999999 × 0.170575586251288 × 6371000     		do = 26672.5483796926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.10446617) × cos(-1.40351887) × R
    0.0245436999999999 × 0.166498428261839 × 6371000     		du = 26035.0116951343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39938254)-sin(-1.40351887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170575586251288-0.166498428261839)×R²
    abs(1.10446617-1.07992247)×0.00407715798944894×R²
    0.0245436999999999×0.00407715798944894×6371000²
    0.0245436999999999×0.00407715798944894×40589641000000     		ar = 694490518.470576m²