Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 172 / 36
↖ ↑ ↗
← N 78.061989°
E 61.875000°		 ← 32.345 km → N 78.061989°
E 63.281250°		 →
↑
32.737 km
↓
↑
32.737 km
↓
N 77.767582°
E 61.875000°		 ← 33.131 km →
1 071.73 km²		 N 77.767582°
E 63.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.673828125 y=0.142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.673828125 × 28)
    floor (0.673828125 × 256)
    floor (172.5)     		tx = 172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142578125 × 28)
    floor (0.142578125 × 256)
    floor (36.5)     		ty = 36
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 172 / 36 ti = "8/172/36"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/172/36.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 172 ÷ 28
    172 ÷ 256     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36 ÷ 28
    36 ÷ 256     		y = 0.140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140625 × 2 - 1) × π
    0.71875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25801971970313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25801971970313))-π/2
    2×atan(9.56413074179742)-π/2
    2×1.46661752937248-π/2
    2.93323505874497-1.57079632675     		φ = 1.36243873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36243873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.061989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 172 KachelY 36 1.07992247 1.36243873 61.875000 78.061989
    Oben rechts KachelX + 1 173 KachelY 36 1.10446617 1.36243873 63.281250 78.061989
    Unten links KachelX 172 KachelY + 1 37 1.07992247 1.35730036 61.875000 77.767582
    Unten rechts KachelX + 1 173 KachelY + 1 37 1.10446617 1.35730036 63.281250 77.767582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36243873-1.35730036) × R
    0.00513837000000006 × 6371000     		dl = 32736.5552700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36243873-1.35730036) × R
    0.00513837000000006 × 6371000     		dr = 32736.5552700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.10446617) × cos(1.36243873) × R
    0.0245436999999999 × 0.206853298300232 × 6371000     		do = 32345.2184903177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.10446617) × cos(1.35730036) × R
    0.0245436999999999 × 0.21187778260903 × 6371000     		du = 33130.8866140782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36243873)-sin(1.35730036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206853298300232-0.21187778260903)×R²
    abs(1.10446617-1.07992247)×0.00502448430879712×R²
    0.0245436999999999×0.00502448430879712×6371000²
    0.0245436999999999×0.00502448430879712×40589641000000     		ar = 1071733424.87594m²