Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1729 / 2751
↖ ↑ ↗
← S 52.429222°
W 28.037109°		 ← 5 958.99 m → S 52.429222°
W 27.949219°		 →
↑
5 955.42 m
↓
↑
5 955.42 m
↓
S 52.482780°
W 28.037109°		 ← 5 951.75 m →
35 466 724 m²		 S 52.482780°
W 27.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4222412109375 y=0.6717529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4222412109375 × 212)
    floor (0.4222412109375 × 4096)
    floor (1729.5)     		tx = 1729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6717529296875 × 212)
    floor (0.6717529296875 × 4096)
    floor (2751.5)     		ty = 2751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1729 / 2751 ti = "12/1729/2751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1729/2751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1729 ÷ 212
    1729 ÷ 4096     		x = 0.422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2751 ÷ 212
    2751 ÷ 4096     		y = 0.671630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.15576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48933987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671630859375 × 2 - 1) × π
    -0.34326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07838849385278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48933987} λ = -0.48933987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07838849385278))-π/2
    2×atan(0.340143227115697)-π/2
    2×0.327866886901706-π/2
    0.655733773803412-1.57079632675     		φ = -0.91506255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48933987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91506255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.429222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1729 KachelY 2751 -0.48933987 -0.91506255 -28.037109 -52.429222
    Oben rechts KachelX + 1 1730 KachelY 2751 -0.48780589 -0.91506255 -27.949219 -52.429222
    Unten links KachelX 1729 KachelY + 1 2752 -0.48933987 -0.91599732 -28.037109 -52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 1730 KachelY + 1 2752 -0.48780589 -0.91599732 -27.949219 -52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91506255--0.91599732) × R
    0.000934769999999974 × 6371000     		dl = 5955.41966999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91506255--0.91599732) × R
    0.000934769999999974 × 6371000     		dr = 5955.41966999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48933987--0.48780589) × cos(-0.91506255) × R
    0.00153397999999999 × 0.60974099944977 × 6371000     		do = 5958.99060489835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48933987--0.48780589) × cos(-0.91599732) × R
    0.00153397999999999 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 5951.74720276517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91506255)-sin(-0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60974099944977-0.608999833781129)×R²
    abs(-0.48780589--0.48933987)×0.000741165668640908×R²
    0.00153397999999999×0.000741165668640908×6371000²
    0.00153397999999999×0.000741165668640908×40589641000000     		ar = 35466723.6945379m²