Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1732 / 2500
↖ ↑ ↗
← S 36.879621°
W 27.773438°		 ← 7 817.39 m → S 36.879621°
W 27.685547°		 →
↑
7 813.78 m
↓
↑
7 813.78 m
↓
S 36.949892°
W 27.773438°		 ← 7 810.19 m →
61 055 252 m²		 S 36.949892°
W 27.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4229736328125 y=0.6104736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4229736328125 × 212)
    floor (0.4229736328125 × 4096)
    floor (1732.5)     		tx = 1732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6104736328125 × 212)
    floor (0.6104736328125 × 4096)
    floor (2500.5)     		ty = 2500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1732 / 2500 ti = "12/1732/2500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1732/2500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1732 ÷ 212
    1732 ÷ 4096     		x = 0.4228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2500 ÷ 212
    2500 ÷ 4096     		y = 0.6103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4228515625 × 2 - 1) × π
    -0.154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48473793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6103515625 × 2 - 1) × π
    -0.220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.693359316104492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48473793} λ = -0.48473793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.693359316104492))-π/2
    2×atan(0.499893943477303)-π/2
    2×0.463562760183344-π/2
    0.927125520366688-1.57079632675     		φ = -0.64367081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48473793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.773438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64367081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.879621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1732 KachelY 2500 -0.48473793 -0.64367081 -27.773438 -36.879621
    Oben rechts KachelX + 1 1733 KachelY 2500 -0.48320395 -0.64367081 -27.685547 -36.879621
    Unten links KachelX 1732 KachelY + 1 2501 -0.48473793 -0.64489727 -27.773438 -36.949892
    Unten rechts KachelX + 1 1733 KachelY + 1 2501 -0.48320395 -0.64489727 -27.685547 -36.949892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64367081--0.64489727) × R
    0.00122645999999993 × 6371000     		dl = 7813.77665999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64367081--0.64489727) × R
    0.00122645999999993 × 6371000     		dr = 7813.77665999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48473793--0.48320395) × cos(-0.64367081) × R
    0.00153397999999999 × 0.79989816775706 × 6371000     		do = 7817.39405885628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48473793--0.48320395) × cos(-0.64489727) × R
    0.00153397999999999 × 0.7991615238418 × 6371000     		du = 7810.19484775821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64367081)-sin(-0.64489727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79989816775706-0.7991615238418)×R²
    abs(-0.48320395--0.48473793)×0.000736643915259405×R²
    0.00153397999999999×0.000736643915259405×6371000²
    0.00153397999999999×0.000736643915259405×40589641000000     		ar = 61055252.3785872m²