Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1736 / 2504
↖ ↑ ↗
← S 37.160316°
W 27.421875°		 ← 7 788.57 m → S 37.160316°
W 27.333985°		 →
↑
7 784.98 m
↓
↑
7 784.98 m
↓
S 37.230328°
W 27.421875°		 ← 7 781.35 m →
60 605 741 m²		 S 37.230328°
W 27.333985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4239501953125 y=0.6114501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4239501953125 × 212)
    floor (0.4239501953125 × 4096)
    floor (1736.5)     		tx = 1736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6114501953125 × 212)
    floor (0.6114501953125 × 4096)
    floor (2504.5)     		ty = 2504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1736 / 2504 ti = "12/1736/2504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1736/2504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1736 ÷ 212
    1736 ÷ 4096     		x = 0.423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2504 ÷ 212
    2504 ÷ 4096     		y = 0.611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423828125 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611328125 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.699495239255859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47860201} λ = -0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.699495239255859))-π/2
    2×atan(0.496836023830374)-π/2
    2×0.461113225993472-π/2
    0.922226451986944-1.57079632675     		φ = -0.64856987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64856987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.160316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1736 KachelY 2504 -0.47860201 -0.64856987 -27.421875 -37.160316
    Oben rechts KachelX + 1 1737 KachelY 2504 -0.47706803 -0.64856987 -27.333985 -37.160316
    Unten links KachelX 1736 KachelY + 1 2505 -0.47860201 -0.64979181 -27.421875 -37.230328
    Unten rechts KachelX + 1 1737 KachelY + 1 2505 -0.47706803 -0.64979181 -27.333985 -37.230328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64856987--0.64979181) × R
    0.00122193999999998 × 6371000     		dl = 7784.97973999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64856987--0.64979181) × R
    0.00122193999999998 × 6371000     		dr = 7784.97973999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47860201--0.47706803) × cos(-0.64856987) × R
    0.00153398000000005 × 0.796948479384723 × 6371000     		do = 7788.56679397853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47860201--0.47706803) × cos(-0.64979181) × R
    0.00153398000000005 × 0.796209775053596 × 6371000     		du = 7781.34744646384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64856987)-sin(-0.64979181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796948479384723-0.796209775053596)×R²
    abs(-0.47706803--0.47860201)×0.000738704331126994×R²
    0.00153398000000005×0.000738704331126994×6371000²
    0.00153398000000005×0.000738704331126994×40589641000000     		ar = 60605740.9987507m²