Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 175 / 111
↖ ↑ ↗
← N 23.241346°
E 66.093750°		 ← 143.679 km → N 23.241346°
E 67.500000°		 →
↑
144.364 km
↓
↑
144.364 km
↓
N 21.943045°
E 66.093750°		 ← 145.040 km →
20 841.3 km²		 N 21.943045°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.685546875 y=0.435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.685546875 × 28)
    floor (0.685546875 × 256)
    floor (175.5)     		tx = 175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435546875 × 28)
    floor (0.435546875 × 256)
    floor (111.5)     		ty = 111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 175 / 111 ti = "8/175/111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/175/111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 175 ÷ 28
    175 ÷ 256     		x = 0.68359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 111 ÷ 28
    111 ÷ 256     		y = 0.43359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68359375 × 2 - 1) × π
    0.3671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.15355355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43359375 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.417242774292969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.15355355} λ = 1.15355355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417242774292969))-π/2
    2×atan(1.51777094397829)-π/2
    2×0.988217169433064-π/2
    1.97643433886613-1.57079632675     		φ = 0.40563801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.15355355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40563801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.241346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 175 KachelY 111 1.15355355 0.40563801 66.093750 23.241346
    Oben rechts KachelX + 1 176 KachelY 111 1.17809725 0.40563801 67.500000 23.241346
    Unten links KachelX 175 KachelY + 1 112 1.15355355 0.38297839 66.093750 21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 176 KachelY + 1 112 1.17809725 0.38297839 67.500000 21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40563801-0.38297839) × R
    0.02265962 × 6371000     		dl = 144364.43902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40563801-0.38297839) × R
    0.02265962 × 6371000     		dr = 144364.43902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.15355355-1.17809725) × cos(0.40563801) × R
    0.0245436999999999 × 0.91885082221011 × 6371000     		do = 143678.785151673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.15355355-1.17809725) × cos(0.38297839) × R
    0.0245436999999999 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 145039.960042026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40563801)-sin(0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91885082221011-0.927555772393619)×R²
    abs(1.17809725-1.15355355)×0.00870495018350947×R²
    0.0245436999999999×0.00870495018350947×6371000²
    0.0245436999999999×0.00870495018350947×40589641000000     		ar = 20841251609.4597m²