Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 176 / 16
↖ ↑ ↗
← N 82.676285°
E 67.500000°		 ← 19.933 km → N 82.676285°
E 68.906250°		 →
↑
20.178 km
↓
↑
20.178 km
↓
N 82.494824°
E 67.500000°		 ← 20.424 km →
407.155 km²		 N 82.494824°
E 68.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.689453125 y=0.064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.689453125 × 28)
    floor (0.689453125 × 256)
    floor (176.5)     		tx = 176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.064453125 × 28)
    floor (0.064453125 × 256)
    floor (16.5)     		ty = 16
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 176 / 16 ti = "8/176/16"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/176/16.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 176 ÷ 28
    176 ÷ 256     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16 ÷ 28
    16 ÷ 256     		y = 0.0625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0625 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Φ = 2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7488935718125))-π/2
    2×atan(15.6253340065392)-π/2
    2×1.5068848564871-π/2
    3.0137697129742-1.57079632675     		φ = 1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 176 KachelY 16 1.17809725 1.44297339 67.500000 82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 177 KachelY 16 1.20264094 1.44297339 68.906250 82.676285
    Unten links KachelX 176 KachelY + 1 17 1.17809725 1.43980629 67.500000 82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 177 KachelY + 1 17 1.20264094 1.43980629 68.906250 82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44297339-1.43980629) × R
    0.00316709999999998 × 6371000     		dl = 20177.5940999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44297339-1.43980629) × R
    0.00316709999999998 × 6371000     		dr = 20177.5940999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.20264094) × cos(1.44297339) × R
    0.02454369 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 19933.0140987739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.20264094) × cos(1.43980629) × R
    0.02454369 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 20424.1056991228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44297339)-sin(1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.130615761686591)×R²
    abs(1.20264094-1.17809725)×0.00314061748320305×R²
    0.02454369×0.00314061748320305×6371000²
    0.02454369×0.00314061748320305×40589641000000     		ar = 407155131.495051m²