Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 176 / 304
↖ ↑ ↗
← S 31.952162°
W 56.250000°		 ← 66.338 km → S 31.952162°
W 55.546875°		 →
↑
66.122 km
↓
↑
66.122 km
↓
S 32.546813°
W 56.250000°		 ← 65.905 km →
4 372.16 km²		 S 32.546813°
W 55.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3447265625 y=0.5947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3447265625 × 29)
    floor (0.3447265625 × 512)
    floor (176.5)     		tx = 176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5947265625 × 29)
    floor (0.5947265625 × 512)
    floor (304.5)     		ty = 304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 176 / 304 ti = "9/176/304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/176/304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 176 ÷ 29
    176 ÷ 512     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 304 ÷ 29
    304 ÷ 512     		y = 0.59375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59375 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58904862253125))-π/2
    2×atan(0.554854910169195)-π/2
    2×0.506562946312123-π/2
    1.01312589262425-1.57079632675     		φ = -0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 176 KachelY 304 -0.98174770 -0.55767043 -56.250000 -31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 177 KachelY 304 -0.96947586 -0.55767043 -55.546875 -31.952162
    Unten links KachelX 176 KachelY + 1 305 -0.98174770 -0.56804905 -56.250000 -32.546813
    Unten rechts KachelX + 1 177 KachelY + 1 305 -0.96947586 -0.56804905 -55.546875 -32.546813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55767043--0.56804905) × R
    0.01037862 × 6371000     		dl = 66122.18802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55767043--0.56804905) × R
    0.01037862 × 6371000     		dr = 66122.18802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.96947586) × cos(-0.55767043) × R
    0.01227184 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 66338.2703262043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.96947586) × cos(-0.56804905) × R
    0.01227184 × 0.842952167416165 × 6371000     		du = 65905.2817579209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55767043)-sin(-0.56804905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.842952167416165)×R²
    abs(-0.96947586--0.98174770)×0.0055380789272933×R²
    0.01227184×0.0055380789272933×6371000²
    0.01227184×0.0055380789272933×40589641000000     		ar = 4372155753.57754m²