Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 178 / 242
↖ ↑ ↗
← S 83.026219°
E 70.312500°		 ← 18.985 km → S 83.026219°
E 71.718750°		 →
↑
18.756 km
↓
↑
18.756 km
↓
S 83.194896°
E 70.312500°		 ← 18.528 km →
351.806 km²		 S 83.194896°
E 71.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.697265625 y=0.947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.697265625 × 28)
    floor (0.697265625 × 256)
    floor (178.5)     		tx = 178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.947265625 × 28)
    floor (0.947265625 × 256)
    floor (242.5)     		ty = 242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 178 / 242 ti = "8/178/242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/178/242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 178 ÷ 28
    178 ÷ 256     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 242 ÷ 28
    242 ÷ 256     		y = 0.9453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9453125 × 2 - 1) × π
    -0.890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.79798095702344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79798095702344))-π/2
    2×atan(0.0609329647856864)-π/2
    2×0.0608577211652698-π/2
    0.12171544233054-1.57079632675     		φ = -1.44908088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44908088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.026219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 178 KachelY 242 1.22718463 -1.44908088 70.312500 -83.026219
    Oben rechts KachelX + 1 179 KachelY 242 1.25172832 -1.44908088 71.718750 -83.026219
    Unten links KachelX 178 KachelY + 1 243 1.22718463 -1.45202485 70.312500 -83.194896
    Unten rechts KachelX + 1 179 KachelY + 1 243 1.25172832 -1.45202485 71.718750 -83.194896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44908088--1.45202485) × R
    0.00294397000000002 × 6371000     		dl = 18756.0328700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44908088--1.45202485) × R
    0.00294397000000002 × 6371000     		dr = 18756.0328700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.25172832) × cos(-1.44908088) × R
    0.02454369 × 0.121415140703967 × 6371000     		do = 18985.4243866975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.25172832) × cos(-1.45202485) × R
    0.02454369 × 0.118492428809386 × 6371000     		du = 18528.4062145244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44908088)-sin(-1.45202485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121415140703967-0.118492428809386)×R²
    abs(1.25172832-1.22718463)×0.00292271189458078×R²
    0.02454369×0.00292271189458078×6371000²
    0.02454369×0.00292271189458078×40589641000000     		ar = 351805574.008524m²