Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 178 / 50
↖ ↑ ↗
← N 73.226700°
E 70.312500°		 ← 45.126 km → N 73.226700°
E 71.718750°		 →
↑
45.660 km
↓
↑
45.660 km
↓
N 72.816073°
E 70.312500°		 ← 46.197 km →
2 084.89 km²		 N 72.816073°
E 71.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.697265625 y=0.197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.697265625 × 28)
    floor (0.697265625 × 256)
    floor (178.5)     		tx = 178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197265625 × 28)
    floor (0.197265625 × 256)
    floor (50.5)     		ty = 50
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 178 / 50 ti = "8/178/50"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/178/50.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 178 ÷ 28
    178 ÷ 256     		x = 0.6953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50 ÷ 28
    50 ÷ 256     		y = 0.1953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6953125 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.22718463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1953125 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91440802322656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22718463} λ = 1.22718463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91440802322656))-π/2
    2×atan(6.78292227582966)-π/2
    2×1.42442166839607-π/2
    2.84884333679215-1.57079632675     		φ = 1.27804701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22718463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27804701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.226700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 178 KachelY 50 1.22718463 1.27804701 70.312500 73.226700
    Oben rechts KachelX + 1 179 KachelY 50 1.25172832 1.27804701 71.718750 73.226700
    Unten links KachelX 178 KachelY + 1 51 1.22718463 1.27088023 70.312500 72.816073
    Unten rechts KachelX + 1 179 KachelY + 1 51 1.25172832 1.27088023 71.718750 72.816073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27804701-1.27088023) × R
    0.00716678000000015 × 6371000     		dl = 45659.555380001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27804701-1.27088023) × R
    0.00716678000000015 × 6371000     		dr = 45659.555380001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22718463-1.25172832) × cos(1.27804701) × R
    0.02454369 × 0.288585657047466 × 6371000     		do = 45125.5184418782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22718463-1.25172832) × cos(1.27088023) × R
    0.02454369 × 0.29544004982785 × 6371000     		du = 46197.3250970793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27804701)-sin(1.27088023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288585657047466-0.29544004982785)×R²
    abs(1.25172832-1.22718463)×0.00685439278038363×R²
    0.02454369×0.00685439278038363×6371000²
    0.02454369×0.00685439278038363×40589641000000     		ar = 2084889139.82151m²