Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1788 / 780
↖ ↑ ↗
← N 39.368279°
E134.296875°		 ← 15.111 km → N 39.368279°
E134.472657°		 →
↑
15.125 km
↓
↑
15.125 km
↓
N 39.232253°
E134.296875°		 ← 15.140 km →
228.778 km²		 N 39.232253°
E134.472657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873291015625 y=0.381103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873291015625 × 211)
    floor (0.873291015625 × 2048)
    floor (1788.5)     		tx = 1788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381103515625 × 211)
    floor (0.381103515625 × 2048)
    floor (780.5)     		ty = 780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1788 / 780 ti = "11/1788/780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1788/780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1788 ÷ 211
    1788 ÷ 2048     		x = 0.873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 780 ÷ 211
    780 ÷ 2048     		y = 0.380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873046875 × 2 - 1) × π
    0.74609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34392264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380859375 × 2 - 1) × π
    0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34392264} λ = 2.34392264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.748582624466797))-π/2
    2×atan(2.11400155805821)-π/2
    2×1.12895120938772-π/2
    2.25790241877543-1.57079632675     		φ = 0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34392264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1788 KachelY 780 2.34392264 0.68710609 134.296875 39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 1789 KachelY 780 2.34699061 0.68710609 134.472657 39.368279
    Unten links KachelX 1788 KachelY + 1 781 2.34392264 0.68473199 134.296875 39.232253
    Unten rechts KachelX + 1 1789 KachelY + 1 781 2.34699061 0.68473199 134.472657 39.232253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68710609-0.68473199) × R
    0.00237410000000005 × 6371000     		dl = 15125.3911000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68710609-0.68473199) × R
    0.00237410000000005 × 6371000     		dr = 15125.3911000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34392264-2.34699061) × cos(0.68710609) × R
    0.00306797000000003 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 15110.7452605119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34392264-2.34699061) × cos(0.68473199) × R
    0.00306797000000003 × 0.774588581970713 × 6371000     		du = 15140.1369822807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68710609)-sin(0.68473199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.774588581970713)×R²
    abs(2.34699061-2.34392264)×0.00150371770831803×R²
    0.00306797000000003×0.00150371770831803×6371000²
    0.00306797000000003×0.00150371770831803×40589641000000     		ar = 228778319.977393m²