Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1792 / 3840
↖ ↑ ↗
← S 82.676285°
W 22.500000°		 ← 1 245.81 m → S 82.676285°
W 22.412109°		 →
↑
1 244.83 m
↓
↑
1 244.83 m
↓
S 82.687480°
W 22.500000°		 ← 1 243.92 m →
1 549 646 m²		 S 82.687480°
W 22.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4376220703125 y=0.9376220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4376220703125 × 212)
    floor (0.4376220703125 × 4096)
    floor (1792.5)     		tx = 1792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9376220703125 × 212)
    floor (0.9376220703125 × 4096)
    floor (3840.5)     		ty = 3840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1792 / 3840 ti = "12/1792/3840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1792/3840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1792 ÷ 212
    1792 ÷ 4096     		x = 0.4375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3840 ÷ 212
    3840 ÷ 4096     		y = 0.9375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4375 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9375 × 2 - 1) × π
    -0.875 × 3.1415926535     		Φ = -2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39269908} λ = -0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7488935718125))-π/2
    2×atan(0.0639986319384598)-π/2
    2×0.0639114703077964-π/2
    0.127822940615593-1.57079632675     		φ = -1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1792 KachelY 3840 -0.39269908 -1.44297339 -22.500000 -82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 1793 KachelY 3840 -0.39116510 -1.44297339 -22.412109 -82.676285
    Unten links KachelX 1792 KachelY + 1 3841 -0.39269908 -1.44316878 -22.500000 -82.687480
    Unten rechts KachelX + 1 1793 KachelY + 1 3841 -0.39116510 -1.44316878 -22.412109 -82.687480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44297339--1.44316878) × R
    0.000195390000000017 × 6371000     		dl = 1244.82969000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44297339--1.44316878) × R
    0.000195390000000017 × 6371000     		dr = 1244.82969000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39269908--0.39116510) × cos(-1.44297339) × R
    0.00153397999999999 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 1245.81287358327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39269908--0.39116510) × cos(-1.44316878) × R
    0.00153397999999999 × 0.127281345808753 × 6371000     		du = 1243.91888447327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44297339)-sin(-1.44316878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.127281345808753)×R²
    abs(-0.39116510--0.39269908)×0.000193798394635597×R²
    0.00153397999999999×0.000193798394635597×6371000²
    0.00153397999999999×0.000193798394635597×40589641000000     		ar = 1549646.01121525m²