Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1792 / 769
↖ ↑ ↗
← N 40.847060°
E135.000000°		 ← 14.786 km → N 40.847060°
E135.175781°		 →
↑
14.801 km
↓
↑
14.801 km
↓
N 40.713956°
E135.000000°		 ← 14.815 km →
219.056 km²		 N 40.713956°
E135.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875244140625 y=0.375732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875244140625 × 211)
    floor (0.875244140625 × 2048)
    floor (1792.5)     		tx = 1792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.375732421875 × 211)
    floor (0.375732421875 × 2048)
    floor (769.5)     		ty = 769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1792 / 769 ti = "11/1792/769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1792/769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1792 ÷ 211
    1792 ÷ 2048     		x = 0.875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 769 ÷ 211
    769 ÷ 2048     		y = 0.37548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Λ = 2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37548828125 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.782330201799316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35619449} λ = 2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.782330201799316))-π/2
    2×atan(2.18656146322248)-π/2
    2×1.14185600987614-π/2
    2.28371201975227-1.57079632675     		φ = 0.71291569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71291569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.847060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1792 KachelY 769 2.35619449 0.71291569 135.000000 40.847060
    Oben rechts KachelX + 1 1793 KachelY 769 2.35926245 0.71291569 135.175781 40.847060
    Unten links KachelX 1792 KachelY + 1 770 2.35619449 0.71059258 135.000000 40.713956
    Unten rechts KachelX + 1 1793 KachelY + 1 770 2.35926245 0.71059258 135.175781 40.713956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71291569-0.71059258) × R
    0.00232310999999996 × 6371000     		dl = 14800.5338099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71291569-0.71059258) × R
    0.00232310999999996 × 6371000     		dr = 14800.5338099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35619449-2.35926245) × cos(0.71291569) × R
    0.00306796000000009 × 0.756458109966538 × 6371000     		do = 14785.7099140707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35619449-2.35926245) × cos(0.71059258) × R
    0.00306796000000009 × 0.757975479207299 × 6371000     		du = 14815.3683725245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71291569)-sin(0.71059258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756458109966538-0.757975479207299)×R²
    abs(2.35926245-2.35619449)×0.00151736924076162×R²
    0.00306796000000009×0.00151736924076162×6371000²
    0.00306796000000009×0.00151736924076162×40589641000000     		ar = 219055978.51412m²