Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1794 / 3842
↖ ↑ ↗
← S 82.698659°
W 22.324219°		 ← 1 242.03 m → S 82.698659°
W 22.236328°		 →
↑
1 241.07 m
↓
↑
1 241.07 m
↓
S 82.709820°
W 22.324219°		 ← 1 240.14 m →
1 540 272 m²		 S 82.709820°
W 22.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4381103515625 y=0.9381103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4381103515625 × 212)
    floor (0.4381103515625 × 4096)
    floor (1794.5)     		tx = 1794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9381103515625 × 212)
    floor (0.9381103515625 × 4096)
    floor (3842.5)     		ty = 3842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1794 / 3842 ti = "12/1794/3842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1794/3842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1794 ÷ 212
    1794 ÷ 4096     		x = 0.43798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3842 ÷ 212
    3842 ÷ 4096     		y = 0.93798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38963112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93798828125 × 2 - 1) × π
    -0.8759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75196153338818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38963112} λ = -0.38963112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75196153338818))-π/2
    2×atan(0.0638025874769843)-π/2
    2×0.0637162230975115-π/2
    0.127432446195023-1.57079632675     		φ = -1.44336388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38963112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44336388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.698659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1794 KachelY 3842 -0.38963112 -1.44336388 -22.324219 -82.698659
    Oben rechts KachelX + 1 1795 KachelY 3842 -0.38809714 -1.44336388 -22.236328 -82.698659
    Unten links KachelX 1794 KachelY + 1 3843 -0.38963112 -1.44355868 -22.324219 -82.709820
    Unten rechts KachelX + 1 1795 KachelY + 1 3843 -0.38809714 -1.44355868 -22.236328 -82.709820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44336388--1.44355868) × R
    0.00019480000000005 × 6371000     		dl = 1241.07080000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44336388--1.44355868) × R
    0.00019480000000005 × 6371000     		dr = 1241.07080000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38963112--0.38809714) × cos(-1.44336388) × R
    0.00153397999999999 × 0.127087830203396 × 6371000     		do = 1242.0276590591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38963112--0.38809714) × cos(-1.44355868) × R
    0.00153397999999999 × 0.126894607335434 × 6371000     		du = 1240.13929456356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44336388)-sin(-1.44355868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127087830203396-0.126894607335434)×R²
    abs(-0.38809714--0.38963112)×0.000193222867961779×R²
    0.00153397999999999×0.000193222867961779×6371000²
    0.00153397999999999×0.000193222867961779×40589641000000     		ar = 1540272.46829814m²