Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1796 / 260
↖ ↑ ↗
← N 79.038438°
E135.703125°		 ← 3 716.67 m → N 79.038438°
E135.878906°		 →
↑
3 722.26 m
↓
↑
3 722.26 m
↓
N 79.004962°
E135.703125°		 ← 3 727.89 m →
13 855 283 m²		 N 79.004962°
E135.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.877197265625 y=0.127197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.877197265625 × 211)
    floor (0.877197265625 × 2048)
    floor (1796.5)     		tx = 1796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127197265625 × 211)
    floor (0.127197265625 × 2048)
    floor (260.5)     		ty = 260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1796 / 260 ti = "11/1796/260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1796/260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1796 ÷ 211
    1796 ÷ 2048     		x = 0.876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 260 ÷ 211
    260 ÷ 2048     		y = 0.126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876953125 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36846634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126953125 × 2 - 1) × π
    0.74609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34392264382227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36846634} λ = 2.36846634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34392264382227))-π/2
    2×atan(10.4220384294788)-π/2
    2×1.47513864773884-π/2
    2.95027729547768-1.57079632675     		φ = 1.37948097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36846634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37948097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.038438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1796 KachelY 260 2.36846634 1.37948097 135.703125 79.038438
    Oben rechts KachelX + 1 1797 KachelY 260 2.37153430 1.37948097 135.878906 79.038438
    Unten links KachelX 1796 KachelY + 1 261 2.36846634 1.37889672 135.703125 79.004962
    Unten rechts KachelX + 1 1797 KachelY + 1 261 2.37153430 1.37889672 135.878906 79.004962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37948097-1.37889672) × R
    0.000584249999999953 × 6371000     		dl = 3722.2567499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37948097-1.37889672) × R
    0.000584249999999953 × 6371000     		dr = 3722.2567499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36846634-2.37153430) × cos(1.37948097) × R
    0.00306796000000009 × 0.190150417168949 × 6371000     		do = 3716.67495034718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36846634-2.37153430) × cos(1.37889672) × R
    0.00306796000000009 × 0.190723975023126 × 6371000     		du = 3727.88569677065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37948097)-sin(1.37889672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190150417168949-0.190723975023126)×R²
    abs(2.37153430-2.36846634)×0.000573557854177592×R²
    0.00306796000000009×0.000573557854177592×6371000²
    0.00306796000000009×0.000573557854177592×40589641000000     		ar = 13855283.4538862m²