Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1796 / 3844
↖ ↑ ↗
← S 82.720964°
W 22.148438°		 ← 1 238.25 m → S 82.720964°
W 22.060547°		 →
↑
1 237.31 m
↓
↑
1 237.31 m
↓
S 82.732092°
W 22.148438°		 ← 1 236.37 m →
1 530 941 m²		 S 82.732092°
W 22.060547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4385986328125 y=0.9385986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4385986328125 × 212)
    floor (0.4385986328125 × 4096)
    floor (1796.5)     		tx = 1796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9385986328125 × 212)
    floor (0.9385986328125 × 4096)
    floor (3844.5)     		ty = 3844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1796 / 3844 ti = "12/1796/3844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1796/3844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1796 ÷ 212
    1796 ÷ 4096     		x = 0.4384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3844 ÷ 212
    3844 ÷ 4096     		y = 0.9384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    -0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9384765625 × 2 - 1) × π
    -0.876953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75502949496387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38656316} λ = -0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75502949496387))-π/2
    2×atan(0.0636071435507032)-π/2
    2×0.0635215691379293-π/2
    0.127043138275859-1.57079632675     		φ = -1.44375319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44375319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.720964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1796 KachelY 3844 -0.38656316 -1.44375319 -22.148438 -82.720964
    Oben rechts KachelX + 1 1797 KachelY 3844 -0.38502918 -1.44375319 -22.060547 -82.720964
    Unten links KachelX 1796 KachelY + 1 3845 -0.38656316 -1.44394740 -22.148438 -82.732092
    Unten rechts KachelX + 1 1797 KachelY + 1 3845 -0.38502918 -1.44394740 -22.060547 -82.732092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44375319--1.44394740) × R
    0.000194210000000083 × 6371000     		dl = 1237.31191000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44375319--1.44394740) × R
    0.000194210000000083 × 6371000     		dr = 1237.31191000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38656316--0.38502918) × cos(-1.44375319) × R
    0.00153397999999999 × 0.126701667315055 × 6371000     		do = 1238.25369433365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38656316--0.38502918) × cos(-1.44394740) × R
    0.00153397999999999 × 0.12650902009067 × 6371000     		du = 1236.37095559506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44375319)-sin(-1.44394740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126701667315055-0.12650902009067)×R²
    abs(-0.38502918--0.38656316)×0.000192647224385056×R²
    0.00153397999999999×0.000192647224385056×6371000²
    0.00153397999999999×0.000192647224385056×40589641000000     		ar = 1530941.28088137m²