Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1799 / 263
↖ ↑ ↗
← N 78.937709°
E136.230469°		 ← 3 750.41 m → N 78.937709°
E136.406250°		 →
↑
3 756.09 m
↓
↑
3 756.09 m
↓
N 78.903929°
E136.230469°		 ← 3 761.71 m →
14 108 085 m²		 N 78.903929°
E136.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.878662109375 y=0.128662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.878662109375 × 211)
    floor (0.878662109375 × 2048)
    floor (1799.5)     		tx = 1799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128662109375 × 211)
    floor (0.128662109375 × 2048)
    floor (263.5)     		ty = 263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1799 / 263 ti = "11/1799/263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1799/263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1799 ÷ 211
    1799 ÷ 2048     		x = 0.87841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 263 ÷ 211
    263 ÷ 2048     		y = 0.12841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87841796875 × 2 - 1) × π
    0.7568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.37767022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    0.7431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33471875909521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.37767022} λ = 2.37767022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33471875909521))-π/2
    2×atan(10.3265552711865)-π/2
    2×1.47425962148049-π/2
    2.94851924296098-1.57079632675     		φ = 1.37772292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.37767022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37772292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.937709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1799 KachelY 263 2.37767022 1.37772292 136.230469 78.937709
    Oben rechts KachelX + 1 1800 KachelY 263 2.38073818 1.37772292 136.406250 78.937709
    Unten links KachelX 1799 KachelY + 1 264 2.37767022 1.37713336 136.230469 78.903929
    Unten rechts KachelX + 1 1800 KachelY + 1 264 2.38073818 1.37713336 136.406250 78.903929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37772292-1.37713336) × R
    0.0005895600000001 × 6371000     		dl = 3756.08676000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37772292-1.37713336) × R
    0.0005895600000001 × 6371000     		dr = 3756.08676000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.37767022-2.38073818) × cos(1.37772292) × R
    0.00306795999999965 × 0.19187609675018 × 6371000     		do = 3750.40503712415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.37767022-2.38073818) × cos(1.37713336) × R
    0.00306795999999965 × 0.192454668849152 × 6371000     		du = 3761.71379184179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37772292)-sin(1.37713336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19187609675018-0.192454668849152)×R²
    abs(2.38073818-2.37767022)×0.000578572098972552×R²
    0.00306795999999965×0.000578572098972552×6371000²
    0.00306795999999965×0.000578572098972552×40589641000000     		ar = 14108085.4451492m²