Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 180 / 180
↖ ↑ ↗
← S 58.813742°
E 73.125000°		 ← 80.971 km → S 58.813742°
E 74.531250°		 →
↑
80.124 km
↓
↑
80.124 km
↓
S 59.534318°
E 73.125000°		 ← 79.282 km →
6 420.16 km²		 S 59.534318°
E 74.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.705078125 y=0.705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.705078125 × 28)
    floor (0.705078125 × 256)
    floor (180.5)     		tx = 180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.705078125 × 28)
    floor (0.705078125 × 256)
    floor (180.5)     		ty = 180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 180 / 180 ti = "8/180/180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/180/180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 180 ÷ 28
    180 ÷ 256     		x = 0.703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 180 ÷ 28
    180 ÷ 256     		y = 0.703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.703125 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Λ = 1.27627202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.703125 × 2 - 1) × π
    -0.40625 × 3.1415926535     		Φ = -1.27627201548437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.27627202} λ = 1.27627202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.27627201548437))-π/2
    2×atan(0.279075753670116)-π/2
    2×0.272151444228573-π/2
    0.544302888457146-1.57079632675     		φ = -1.02649344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.27627202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 73.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.02649344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.813742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 180 KachelY 180 1.27627202 -1.02649344 73.125000 -58.813742
    Oben rechts KachelX + 1 181 KachelY 180 1.30081571 -1.02649344 74.531250 -58.813742
    Unten links KachelX 180 KachelY + 1 181 1.27627202 -1.03906987 73.125000 -59.534318
    Unten rechts KachelX + 1 181 KachelY + 1 181 1.30081571 -1.03906987 74.531250 -59.534318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.02649344--1.03906987) × R
    0.01257643 × 6371000     		dl = 80124.4355299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.02649344--1.03906987) × R
    0.01257643 × 6371000     		dr = 80124.4355299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.27627202-1.30081571) × cos(-1.02649344) × R
    0.02454369 × 0.517821844059361 × 6371000     		do = 80970.6879155976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.27627202-1.30081571) × cos(-1.03906987) × R
    0.02454369 × 0.507022186184862 × 6371000     		du = 79281.9686439341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.02649344)-sin(-1.03906987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517821844059361-0.507022186184862)×R²
    abs(1.30081571-1.27627202)×0.0107996578745×R²
    0.02454369×0.0107996578745×6371000²
    0.02454369×0.0107996578745×40589641000000     		ar = 6420161445.9851m²