Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 180 / 20
↖ ↑ ↗
← N 81.923187°
E 73.125000°		 ← 21.970 km → N 81.923187°
E 74.531250°		 →
↑
22.239 km
↓
↑
22.239 km
↓
N 81.723188°
E 73.125000°		 ← 22.510 km →
494.591 km²		 N 81.723188°
E 74.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.705078125 y=0.080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.705078125 × 28)
    floor (0.705078125 × 256)
    floor (180.5)     		tx = 180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.080078125 × 28)
    floor (0.080078125 × 256)
    floor (20.5)     		ty = 20
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 180 / 20 ti = "8/180/20"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/180/20.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 180 ÷ 28
    180 ÷ 256     		x = 0.703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20 ÷ 28
    20 ÷ 256     		y = 0.078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.703125 × 2 - 1) × π
    0.40625 × 3.1415926535     		Λ = 1.27627202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078125 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Φ = 2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.27627202} λ = 1.27627202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65071880139062))-π/2
    2×atan(14.1642162454354)-π/2
    2×1.50031283094907-π/2
    3.00062566189813-1.57079632675     		φ = 1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.27627202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 73.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 180 KachelY 20 1.27627202 1.42982934 73.125000 81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 181 KachelY 20 1.30081571 1.42982934 74.531250 81.923187
    Unten links KachelX 180 KachelY + 1 21 1.27627202 1.42633870 73.125000 81.723188
    Unten rechts KachelX + 1 181 KachelY + 1 21 1.30081571 1.42633870 74.531250 81.723188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42982934-1.42633870) × R
    0.00349063999999988 × 6371000     		dl = 22238.8674399992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42982934-1.42633870) × R
    0.00349063999999988 × 6371000     		dr = 22238.8674399992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.27627202-1.30081571) × cos(1.42982934) × R
    0.02454369 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 21969.7727018974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.27627202-1.30081571) × cos(1.42633870) × R
    0.02454369 × 0.143955726994628 × 6371000     		du = 22510.0473799417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42982934)-sin(1.42633870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.143955726994628)×R²
    abs(1.30081571-1.27627202)×0.0034551519480118×R²
    0.02454369×0.0034551519480118×6371000²
    0.02454369×0.0034551519480118×40589641000000     		ar = 494590913.475665m²