Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1800 / 776
↖ ↑ ↗
← N 73.824820°
W 21.796875°		 ← 2 722.53 m → N 73.824820°
W 21.708984°		 →
↑
2 724.49 m
↓
↑
2 724.49 m
↓
N 73.800318°
W 21.796875°		 ← 2 726.54 m →
7 422 981 m²		 N 73.800318°
W 21.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4395751953125 y=0.1895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4395751953125 × 212)
    floor (0.4395751953125 × 4096)
    floor (1800.5)     		tx = 1800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1895751953125 × 212)
    floor (0.1895751953125 × 4096)
    floor (776.5)     		ty = 776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1800 / 776 ti = "12/1800/776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1800/776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1800 ÷ 212
    1800 ÷ 4096     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 776 ÷ 212
    776 ÷ 4096     		y = 0.189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189453125 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95122356213477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95122356213477))-π/2
    2×atan(7.03729288005571)-π/2
    2×1.4296412557564-π/2
    2.85928251151279-1.57079632675     		φ = 1.28848618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28848618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.824820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1800 KachelY 776 -0.38042724 1.28848618 -21.796875 73.824820
    Oben rechts KachelX + 1 1801 KachelY 776 -0.37889325 1.28848618 -21.708984 73.824820
    Unten links KachelX 1800 KachelY + 1 777 -0.38042724 1.28805854 -21.796875 73.800318
    Unten rechts KachelX + 1 1801 KachelY + 1 777 -0.37889325 1.28805854 -21.708984 73.800318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28848618-1.28805854) × R
    0.000427640000000062 × 6371000     		dl = 2724.4944400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28848618-1.28805854) × R
    0.000427640000000062 × 6371000     		dr = 2724.4944400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.37889325) × cos(1.28848618) × R
    0.00153398999999999 × 0.278575088305804 × 6371000     		do = 2722.52834755379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.37889325) × cos(1.28805854) × R
    0.00153398999999999 × 0.278985774457321 × 6371000     		du = 2726.54200396597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28848618)-sin(1.28805854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.278575088305804-0.278985774457321)×R²
    abs(-0.37889325--0.38042724)×0.000410686151516571×R²
    0.00153398999999999×0.000410686151516571×6371000²
    0.00153398999999999×0.000410686151516571×40589641000000     		ar = 7422981.05106494m²