Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1802 / 778
↖ ↑ ↗
← N 39.639537°
E136.757813°		 ← 15.052 km → N 39.639537°
E136.933594°		 →
↑
15.067 km
↓
↑
15.067 km
↓
N 39.504041°
E136.757813°		 ← 15.081 km →
227.001 km²		 N 39.504041°
E136.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.880126953125 y=0.380126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.880126953125 × 211)
    floor (0.880126953125 × 2048)
    floor (1802.5)     		tx = 1802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380126953125 × 211)
    floor (0.380126953125 × 2048)
    floor (778.5)     		ty = 778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1802 / 778 ti = "11/1802/778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1802/778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1802 ÷ 211
    1802 ÷ 2048     		x = 0.8798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 778 ÷ 211
    778 ÷ 2048     		y = 0.3798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8798828125 × 2 - 1) × π
    0.759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.38687411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3798828125 × 2 - 1) × π
    0.240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.754718547618164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.38687411} λ = 2.38687411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754718547618164))-π/2
    2×atan(2.12701278628637)-π/2
    2×1.13131838562223-π/2
    2.26263677124446-1.57079632675     		φ = 0.69184044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.38687411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 136.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69184044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.639537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1802 KachelY 778 2.38687411 0.69184044 136.757813 39.639537
    Oben rechts KachelX + 1 1803 KachelY 778 2.38994207 0.69184044 136.933594 39.639537
    Unten links KachelX 1802 KachelY + 1 779 2.38687411 0.68947558 136.757813 39.504041
    Unten rechts KachelX + 1 1803 KachelY + 1 779 2.38994207 0.68947558 136.933594 39.504041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69184044-0.68947558) × R
    0.00236486000000002 × 6371000     		dl = 15066.5230600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69184044-0.68947558) × R
    0.00236486000000002 × 6371000     		dr = 15066.5230600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.38687411-2.38994207) × cos(0.69184044) × R
    0.00306796000000009 × 0.770073200977456 × 6371000     		do = 15051.8301175411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.38687411-2.38994207) × cos(0.68947558) × R
    0.00306796000000009 × 0.771579721758282 × 6371000     		du = 15081.2765322881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69184044)-sin(0.68947558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770073200977456-0.771579721758282)×R²
    abs(2.38994207-2.38687411)×0.00150652078082614×R²
    0.00306796000000009×0.00150652078082614×6371000²
    0.00306796000000009×0.00150652078082614×40589641000000     		ar = 227000678.897515m²