Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1807 / 271
↖ ↑ ↗
← N 78.664608°
E137.636719°		 ← 3 841.81 m → N 78.664608°
E137.812500°		 →
↑
3 847.57 m
↓
↑
3 847.57 m
↓
N 78.630006°
E137.636719°		 ← 3 853.38 m →
14 803 913 m²		 N 78.630006°
E137.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.882568359375 y=0.132568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.882568359375 × 211)
    floor (0.882568359375 × 2048)
    floor (1807.5)     		tx = 1807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132568359375 × 211)
    floor (0.132568359375 × 2048)
    floor (271.5)     		ty = 271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1807 / 271 ti = "11/1807/271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1807/271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1807 ÷ 211
    1807 ÷ 2048     		x = 0.88232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 271 ÷ 211
    271 ÷ 2048     		y = 0.13232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.88232421875 × 2 - 1) × π
    0.7646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.40221391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13232421875 × 2 - 1) × π
    0.7353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31017506648975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40221391} λ = 2.40221391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31017506648975))-π/2
    2×atan(10.076188503565)-π/2
    2×1.47187636807354-π/2
    2.94375273614707-1.57079632675     		φ = 1.37295641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40221391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37295641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.664608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1807 KachelY 271 2.40221391 1.37295641 137.636719 78.664608
    Oben rechts KachelX + 1 1808 KachelY 271 2.40528188 1.37295641 137.812500 78.664608
    Unten links KachelX 1807 KachelY + 1 272 2.40221391 1.37235249 137.636719 78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 1808 KachelY + 1 272 2.40528188 1.37235249 137.812500 78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37295641-1.37235249) × R
    0.000603920000000091 × 6371000     		dl = 3847.57432000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37295641-1.37235249) × R
    0.000603920000000091 × 6371000     		dr = 3847.57432000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40221391-2.40528188) × cos(1.37295641) × R
    0.00306797000000003 × 0.196551843595368 × 6371000     		do = 3841.80958178157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40221391-2.40528188) × cos(1.37235249) × R
    0.00306797000000003 × 0.197143947310492 × 6371000     		du = 3853.38286282826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37295641)-sin(1.37235249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196551843595368-0.197143947310492)×R²
    abs(2.40528188-2.40221391)×0.000592103715124387×R²
    0.00306797000000003×0.000592103715124387×6371000²
    0.00306797000000003×0.000592103715124387×40589641000000     		ar = 14803912.8686147m²