Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1808 / 272
↖ ↑ ↗
← N 78.630006°
E137.812500°		 ← 3 853.37 m → N 78.630006°
E137.988281°		 →
↑
3 859.17 m
↓
↑
3 859.17 m
↓
N 78.595299°
E137.812500°		 ← 3 864.98 m →
14 893 206 m²		 N 78.595299°
E137.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.883056640625 y=0.133056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.883056640625 × 211)
    floor (0.883056640625 × 2048)
    floor (1808.5)     		tx = 1808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133056640625 × 211)
    floor (0.133056640625 × 2048)
    floor (272.5)     		ty = 272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1808 / 272 ti = "11/1808/272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1808/272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1808 ÷ 211
    1808 ÷ 2048     		x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 272 ÷ 211
    272 ÷ 2048     		y = 0.1328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1328125 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30710710491406))-π/2
    2×atan(10.0453225164482)-π/2
    2×1.47157440740029-π/2
    2.94314881480058-1.57079632675     		φ = 1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1808 KachelY 272 2.40528188 1.37235249 137.812500 78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 1809 KachelY 272 2.40834984 1.37235249 137.988281 78.630006
    Unten links KachelX 1808 KachelY + 1 273 2.40528188 1.37174675 137.812500 78.595299
    Unten rechts KachelX + 1 1809 KachelY + 1 273 2.40834984 1.37174675 137.988281 78.595299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37235249-1.37174675) × R
    0.00060573999999991 × 6371000     		dl = 3859.16953999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37235249-1.37174675) × R
    0.00060573999999991 × 6371000     		dr = 3859.16953999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.40834984) × cos(1.37235249) × R
    0.00306796000000009 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 3853.37030278745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.40834984) × cos(1.37174675) × R
    0.00306796000000009 × 0.197737763187749 × 6371000     		du = 3864.97701198629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37235249)-sin(1.37174675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.197737763187749)×R²
    abs(2.40834984-2.40528188)×0.000593815877256626×R²
    0.00306796000000009×0.000593815877256626×6371000²
    0.00306796000000009×0.000593815877256626×40589641000000     		ar = 14893205.8835305m²