Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1808 / 784
↖ ↑ ↗
← N 38.822591°
E137.812500°		 ← 15.228 km → N 38.822591°
E137.988281°		 →
↑
15.243 km
↓
↑
15.243 km
↓
N 38.685510°
E137.812500°		 ← 15.257 km →
232.341 km²		 N 38.685510°
E137.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.883056640625 y=0.383056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.883056640625 × 211)
    floor (0.883056640625 × 2048)
    floor (1808.5)     		tx = 1808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383056640625 × 211)
    floor (0.383056640625 × 2048)
    floor (784.5)     		ty = 784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1808 / 784 ti = "11/1808/784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1808/784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1808 ÷ 211
    1808 ÷ 2048     		x = 0.8828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 784 ÷ 211
    784 ÷ 2048     		y = 0.3828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8828125 × 2 - 1) × π
    0.765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40528188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3828125 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40528188} λ = 2.40528188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736310778164063))-π/2
    2×atan(2.08821738911978)-π/2
    2×1.12418918173392-π/2
    2.24837836346783-1.57079632675     		φ = 0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40528188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1808 KachelY 784 2.40528188 0.67758204 137.812500 38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 1809 KachelY 784 2.40834984 0.67758204 137.988281 38.822591
    Unten links KachelX 1808 KachelY + 1 785 2.40528188 0.67518952 137.812500 38.685510
    Unten rechts KachelX + 1 1809 KachelY + 1 785 2.40834984 0.67518952 137.988281 38.685510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67758204-0.67518952) × R
    0.00239252000000001 × 6371000     		dl = 15242.7449200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67758204-0.67518952) × R
    0.00239252000000001 × 6371000     		dr = 15242.7449200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40528188-2.40834984) × cos(0.67758204) × R
    0.00306796000000009 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 15228.0886595611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40528188-2.40834984) × cos(0.67518952) × R
    0.00306796000000009 × 0.78058850657304 × 6371000     		du = 15257.3619984816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67758204)-sin(0.67518952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.78058850657304)×R²
    abs(2.40834984-2.40528188)×0.00149766597348755×R²
    0.00306796000000009×0.00149766597348755×6371000²
    0.00306796000000009×0.00149766597348755×40589641000000     		ar = 232341084.905557m²