Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1809 / 785
↖ ↑ ↗
← N 38.685510°
E137.988281°		 ← 15.257 km → N 38.685510°
E138.164063°		 →
↑
15.272 km
↓
↑
15.272 km
↓
N 38.548166°
E137.988281°		 ← 15.287 km →
233.234 km²		 N 38.548166°
E138.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.883544921875 y=0.383544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.883544921875 × 211)
    floor (0.883544921875 × 2048)
    floor (1809.5)     		tx = 1809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383544921875 × 211)
    floor (0.383544921875 × 2048)
    floor (785.5)     		ty = 785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1809 / 785 ti = "11/1809/785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1809/785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1809 ÷ 211
    1809 ÷ 2048     		x = 0.88330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 785 ÷ 211
    785 ÷ 2048     		y = 0.38330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.88330078125 × 2 - 1) × π
    0.7666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.40834984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    0.2333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.733242816588379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.40834984} λ = 2.40834984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.733242816588379))-π/2
    2×atan(2.08182063592218)-π/2
    2×1.12299292245157-π/2
    2.24598584490315-1.57079632675     		φ = 0.67518952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.40834984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 137.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67518952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.685510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1809 KachelY 785 2.40834984 0.67518952 137.988281 38.685510
    Oben rechts KachelX + 1 1810 KachelY 785 2.41141780 0.67518952 138.164063 38.685510
    Unten links KachelX 1809 KachelY + 1 786 2.40834984 0.67279241 137.988281 38.548166
    Unten rechts KachelX + 1 1810 KachelY + 1 786 2.41141780 0.67279241 138.164063 38.548166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67518952-0.67279241) × R
    0.00239710999999998 × 6371000     		dl = 15271.9878099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67518952-0.67279241) × R
    0.00239710999999998 × 6371000     		dr = 15271.9878099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.40834984-2.41141780) × cos(0.67518952) × R
    0.00306796000000009 × 0.78058850657304 × 6371000     		do = 15257.3619984816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.40834984-2.41141780) × cos(0.67279241) × R
    0.00306796000000009 × 0.782084564710599 × 6371000     		du = 15286.6039106841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67518952)-sin(0.67279241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78058850657304-0.782084564710599)×R²
    abs(2.41141780-2.40834984)×0.00149605813755893×R²
    0.00306796000000009×0.00149605813755893×6371000²
    0.00306796000000009×0.00149605813755893×40589641000000     		ar = 233233649.199621m²