Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1816 / 760
↖ ↑ ↗
← N 42.032975°
E139.218750°		 ← 14.518 km → N 42.032975°
E139.394531°		 →
↑
14.533 km
↓
↑
14.533 km
↓
N 41.902277°
E139.218750°		 ← 14.548 km →
211.205 km²		 N 41.902277°
E139.394531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.886962890625 y=0.371337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.886962890625 × 211)
    floor (0.886962890625 × 2048)
    floor (1816.5)     		tx = 1816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.371337890625 × 211)
    floor (0.371337890625 × 2048)
    floor (760.5)     		ty = 760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1816 / 760 ti = "11/1816/760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1816/760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1816 ÷ 211
    1816 ÷ 2048     		x = 0.88671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 760 ÷ 211
    760 ÷ 2048     		y = 0.37109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.88671875 × 2 - 1) × π
    0.7734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.42982557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37109375 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.809941855980469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.42982557} λ = 2.42982557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.809941855980469))-π/2
    2×atan(2.2477772880703)-π/2
    2×1.15220506164254-π/2
    2.30441012328507-1.57079632675     		φ = 0.73361380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.42982557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 139.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73361380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.032975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1816 KachelY 760 2.42982557 0.73361380 139.218750 42.032975
    Oben rechts KachelX + 1 1817 KachelY 760 2.43289353 0.73361380 139.394531 42.032975
    Unten links KachelX 1816 KachelY + 1 761 2.42982557 0.73133270 139.218750 41.902277
    Unten rechts KachelX + 1 1817 KachelY + 1 761 2.43289353 0.73133270 139.394531 41.902277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73361380-0.73133270) × R
    0.00228110000000004 × 6371000     		dl = 14532.8881000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73361380-0.73133270) × R
    0.00228110000000004 × 6371000     		dr = 14532.8881000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.42982557-2.43289353) × cos(0.73361380) × R
    0.00306795999999965 × 0.74275960828728 × 6371000     		do = 14517.9593679136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.42982557-2.43289353) × cos(0.73133270) × R
    0.00306795999999965 × 0.744285003697341 × 6371000     		du = 14547.7747056571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73361380)-sin(0.73133270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74275960828728-0.744285003697341)×R²
    abs(2.43289353-2.42982557)×0.00152539541006036×R²
    0.00306795999999965×0.00152539541006036×6371000²
    0.00306795999999965×0.00152539541006036×40589641000000     		ar = 211204621.999925m²