Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 182 / 54
↖ ↑ ↗
← N 71.524909°
E 75.937500°		 ← 49.552 km → N 71.524909°
E 77.343750°		 →
↑
50.133 km
↓
↑
50.133 km
↓
N 71.074057°
E 75.937500°		 ← 50.717 km →
2 513.38 km²		 N 71.074057°
E 77.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.712890625 y=0.212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.712890625 × 28)
    floor (0.712890625 × 256)
    floor (182.5)     		tx = 182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212890625 × 28)
    floor (0.212890625 × 256)
    floor (54.5)     		ty = 54
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 182 / 54 ti = "8/182/54"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/182/54.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 182 ÷ 28
    182 ÷ 256     		x = 0.7109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54 ÷ 28
    54 ÷ 256     		y = 0.2109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7109375 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.32535940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2109375 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.32535940} λ = 1.32535940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81623325280469))-π/2
    2×atan(6.14865434880464)-π/2
    2×1.40957074333464-π/2
    2.81914148666927-1.57079632675     		φ = 1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.32535940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 75.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 182 KachelY 54 1.32535940 1.24834516 75.937500 71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 183 KachelY 54 1.34990309 1.24834516 77.343750 71.524909
    Unten links KachelX 182 KachelY + 1 55 1.32535940 1.24047630 75.937500 71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 183 KachelY + 1 55 1.34990309 1.24047630 77.343750 71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24834516-1.24047630) × R
    0.00786885999999987 × 6371000     		dl = 50132.5070599992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24834516-1.24047630) × R
    0.00786885999999987 × 6371000     		dr = 50132.5070599992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.32535940-1.34990309) × cos(1.24834516) × R
    0.02454369 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 49551.7747605563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.32535940-1.34990309) × cos(1.24047630) × R
    0.02454369 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 50717.2504925739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24834516)-sin(1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.324345770694955)×R²
    abs(1.34990309-1.32535940)×0.00745342306328006×R²
    0.02454369×0.00745342306328006×6371000²
    0.02454369×0.00745342306328006×40589641000000     		ar = 2513381777.04599m²