Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1824 / 801
↖ ↑ ↗
← N 36.456636°
E140.625000°		 ← 15.721 km → N 36.456636°
E140.800781°		 →
↑
15.735 km
↓
↑
15.735 km
↓
N 36.315125°
E140.625000°		 ← 15.750 km →
247.599 km²		 N 36.315125°
E140.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.890869140625 y=0.391357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.890869140625 × 211)
    floor (0.890869140625 × 2048)
    floor (1824.5)     		tx = 1824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.391357421875 × 211)
    floor (0.391357421875 × 2048)
    floor (801.5)     		ty = 801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1824 / 801 ti = "11/1824/801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1824/801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1824 ÷ 211
    1824 ÷ 2048     		x = 0.890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 801 ÷ 211
    801 ÷ 2048     		y = 0.39111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.890625 × 2 - 1) × π
    0.78125 × 3.1415926535     		Λ = 2.45436926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39111328125 × 2 - 1) × π
    0.2177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.684155431377441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.45436926} λ = 2.45436926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.684155431377441))-π/2
    2×atan(1.98209711139983)-π/2
    2×1.10354232969133-π/2
    2.20708465938266-1.57079632675     		φ = 0.63628833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.45436926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 140.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.63628833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.456636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1824 KachelY 801 2.45436926 0.63628833 140.625000 36.456636
    Oben rechts KachelX + 1 1825 KachelY 801 2.45743722 0.63628833 140.800781 36.456636
    Unten links KachelX 1824 KachelY + 1 802 2.45436926 0.63381850 140.625000 36.315125
    Unten rechts KachelX + 1 1825 KachelY + 1 802 2.45743722 0.63381850 140.800781 36.315125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.63628833-0.63381850) × R
    0.00246983000000001 × 6371000     		dl = 15735.28693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.63628833-0.63381850) × R
    0.00246983000000001 × 6371000     		dr = 15735.28693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.45436926-2.45743722) × cos(0.63628833) × R
    0.00306796000000009 × 0.804306820171228 × 6371000     		do = 15720.9595194722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.45436926-2.45743722) × cos(0.63381850) × R
    0.00306796000000009 × 0.805771973626887 × 6371000     		du = 15749.5973695918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.63628833)-sin(0.63381850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.804306820171228-0.805771973626887)×R²
    abs(2.45743722-2.45436926)×0.00146515345565845×R²
    0.00306796000000009×0.00146515345565845×6371000²
    0.00306796000000009×0.00146515345565845×40589641000000     		ar = 247599247.112362m²