Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18304 / 18304
↖ ↑ ↗
← S 20.632784°
E 21.093750°		 ← 1 143.28 m → S 20.632784°
E 21.104737°		 →
↑
1 143.21 m
↓
↑
1 143.21 m
↓
S 20.643065°
E 21.093750°		 ← 1 143.20 m →
1 306 969 m²		 S 20.643065°
E 21.104737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558609008789062 y=0.558609008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558609008789062 × 215)
    floor (0.558609008789062 × 32768)
    floor (18304.5)     		tx = 18304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558609008789062 × 215)
    floor (0.558609008789062 × 32768)
    floor (18304.5)     		ty = 18304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18304 / 18304 ti = "15/18304/18304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18304/18304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18304 ÷ 215
    18304 ÷ 32768     		x = 0.55859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18304 ÷ 215
    18304 ÷ 32768     		y = 0.55859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55859375 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55859375 × 2 - 1) × π
    -0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36815539} λ = 0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368155389082031))-π/2
    2×atan(0.692009642590627)-π/2
    2×0.605343153890922-π/2
    1.21068630778184-1.57079632675     		φ = -0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18304 KachelY 18304 0.36815539 -0.36011002 21.093750 -20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 18305 KachelY 18304 0.36834714 -0.36011002 21.104737 -20.632784
    Unten links KachelX 18304 KachelY + 1 18305 0.36815539 -0.36028946 21.093750 -20.643065
    Unten rechts KachelX + 1 18305 KachelY + 1 18305 0.36834714 -0.36028946 21.104737 -20.643065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36011002--0.36028946) × R
    0.000179440000000031 × 6371000     		dl = 1143.2122400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36011002--0.36028946) × R
    0.000179440000000031 × 6371000     		dr = 1143.2122400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36815539-0.36834714) × cos(-0.36011002) × R
    0.000191749999999991 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 1143.28093950533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36815539-0.36834714) × cos(-0.36028946) × R
    0.000191749999999991 × 0.935794815171759 × 6371000     		du = 1143.20367616026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36011002)-sin(-0.36028946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.935794815171759)×R²
    abs(0.36834714-0.36815539)×6.32456308744533e-05×R²
    0.000191749999999991×6.32456308744533e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.32456308744533e-05×40589641000000     		ar = 1306968.60310736m²