Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 184 / 248
↖ ↑ ↗
← S 83.979259°
E 78.750000°		 ← 16.401 km → S 83.979259°
E 80.156250°		 →
↑
16.203 km
↓
↑
16.203 km
↓
S 84.124973°
E 78.750000°		 ← 16.006 km →
262.539 km²		 S 84.124973°
E 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.720703125 y=0.970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.720703125 × 28)
    floor (0.720703125 × 256)
    floor (184.5)     		tx = 184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.970703125 × 28)
    floor (0.970703125 × 256)
    floor (248.5)     		ty = 248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 184 / 248 ti = "8/184/248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/184/248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 184 ÷ 28
    184 ÷ 256     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 248 ÷ 28
    248 ÷ 256     		y = 0.96875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.96875 × 2 - 1) × π
    -0.9375 × 3.1415926535     		Φ = -2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.94524311265625))-π/2
    2×atan(0.0525892731441516)-π/2
    2×0.0525408725809301-π/2
    0.10508174516186-1.57079632675     		φ = -1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 184 KachelY 248 1.37444679 -1.46571458 78.750000 -83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 185 KachelY 248 1.39899048 -1.46571458 80.156250 -83.979259
    Unten links KachelX 184 KachelY + 1 249 1.37444679 -1.46825777 78.750000 -84.124973
    Unten rechts KachelX + 1 185 KachelY + 1 249 1.39899048 -1.46825777 80.156250 -84.124973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.46571458--1.46825777) × R
    0.00254318999999992 × 6371000     		dl = 16202.6634899995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.46571458--1.46825777) × R
    0.00254318999999992 × 6371000     		dr = 16202.6634899995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.39899048) × cos(-1.46571458) × R
    0.02454369 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 16401.1836650067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.39899048) × cos(-1.46825777) × R
    0.02454369 × 0.10235896684204 × 6371000     		du = 16005.6514699285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.46571458)-sin(-1.46825777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.10235896684204)×R²
    abs(1.39899048-1.37444679)×0.00252949821611653×R²
    0.02454369×0.00252949821611653×6371000²
    0.02454369×0.00252949821611653×40589641000000     		ar = 262538663.738m²