Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 184 / 344
↖ ↑ ↗
← S 52.482780°
W 50.625000°		 ← 47.614 km → S 52.482780°
W 49.921875°		 →
↑
47.383 km
↓
↑
47.383 km
↓
S 52.908902°
W 50.625000°		 ← 47.151 km →
2 245.12 km²		 S 52.908902°
W 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3603515625 y=0.6728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3603515625 × 29)
    floor (0.3603515625 × 512)
    floor (184.5)     		tx = 184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6728515625 × 29)
    floor (0.6728515625 × 512)
    floor (344.5)     		ty = 344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 184 / 344 ti = "9/184/344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/184/344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 184 ÷ 29
    184 ÷ 512     		x = 0.359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 344 ÷ 29
    344 ÷ 512     		y = 0.671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359375 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671875 × 2 - 1) × π
    -0.34375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88357293} λ = -0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07992247464063))-π/2
    2×atan(0.339621853930649)-π/2
    2×0.327399505668934-π/2
    0.654799011337869-1.57079632675     		φ = -0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 184 KachelY 344 -0.88357293 -0.91599732 -50.625000 -52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 185 KachelY 344 -0.87130109 -0.91599732 -49.921875 -52.482780
    Unten links KachelX 184 KachelY + 1 345 -0.88357293 -0.92343454 -50.625000 -52.908902
    Unten rechts KachelX + 1 185 KachelY + 1 345 -0.87130109 -0.92343454 -49.921875 -52.908902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91599732--0.92343454) × R
    0.00743722000000002 × 6371000     		dl = 47382.5286200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91599732--0.92343454) × R
    0.00743722000000002 × 6371000     		dr = 47382.5286200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88357293--0.87130109) × cos(-0.91599732) × R
    0.01227184 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 47613.9776221218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88357293--0.87130109) × cos(-0.92343454) × R
    0.01227184 × 0.603084063284091 × 6371000     		du = 47151.4596566984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91599732)-sin(-0.92343454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.603084063284091)×R²
    abs(-0.87130109--0.88357293)×0.00591577049703829×R²
    0.01227184×0.00591577049703829×6371000²
    0.01227184×0.00591577049703829×40589641000000     		ar = 2245123370.60192m²