Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18400 / 18400
↖ ↑ ↗
← S 21.616579°
E 22.148438°		 ← 1 135.72 m → S 21.616579°
E 22.159424°		 →
↑
1 135.69 m
↓
↑
1 135.69 m
↓
S 21.626793°
E 22.148438°		 ← 1 135.64 m →
1 289 787 m²		 S 21.626793°
E 22.159424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561538696289062 y=0.561538696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561538696289062 × 215)
    floor (0.561538696289062 × 32768)
    floor (18400.5)     		tx = 18400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561538696289062 × 215)
    floor (0.561538696289062 × 32768)
    floor (18400.5)     		ty = 18400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18400 / 18400 ti = "15/18400/18400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18400/18400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18400 ÷ 215
    18400 ÷ 32768     		x = 0.5615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18400 ÷ 215
    18400 ÷ 32768     		y = 0.5615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5615234375 × 2 - 1) × π
    0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5615234375 × 2 - 1) × π
    -0.123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.386563158536133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38656316} λ = 0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.386563158536133))-π/2
    2×atan(0.679387814879714)-π/2
    2×0.596757922180236-π/2
    1.19351584436047-1.57079632675     		φ = -0.37728048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37728048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.616579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18400 KachelY 18400 0.38656316 -0.37728048 22.148438 -21.616579
    Oben rechts KachelX + 1 18401 KachelY 18400 0.38675491 -0.37728048 22.159424 -21.616579
    Unten links KachelX 18400 KachelY + 1 18401 0.38656316 -0.37745874 22.148438 -21.626793
    Unten rechts KachelX + 1 18401 KachelY + 1 18401 0.38675491 -0.37745874 22.159424 -21.626793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37728048--0.37745874) × R
    0.000178260000000041 × 6371000     		dl = 1135.69446000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37728048--0.37745874) × R
    0.000178260000000041 × 6371000     		dr = 1135.69446000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38656316-0.38675491) × cos(-0.37728048) × R
    0.000191749999999991 × 0.929669925866356 × 6371000     		do = 1135.72127098287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38656316-0.38675491) × cos(-0.37745874) × R
    0.000191749999999991 × 0.92960424125645 × 6371000     		du = 1135.64102808529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37728048)-sin(-0.37745874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929669925866356-0.92960424125645)×R²
    abs(0.38675491-0.38656316)×6.56846099059694e-05×R²
    0.000191749999999991×6.56846099059694e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.56846099059694e-05×40589641000000     		ar = 1289786.79326793m²