Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18431 / 18431
S 21.932855°
E 22.489013°
← 1 133.22 m → S 21.932855°
E 22.500000°

1 133.15 m

1 133.15 m
S 21.943045°
E 22.489013°
← 1 133.14 m →
1 284 057 m²
S 21.943045°
E 22.500000°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562484741210938 y=0.562484741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562484741210938 × 215)
    floor (0.562484741210938 × 32768)
    floor (18431.5)
    tx = 18431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562484741210938 × 215)
    floor (0.562484741210938 × 32768)
    floor (18431.5)
    ty = 18431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18431 / 18431 ti = "15/18431/18431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18431/18431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18431 ÷ 215
    18431 ÷ 32768
    x = 0.562469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18431 ÷ 215
    18431 ÷ 32768
    y = 0.562469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.562469482421875 × 2 - 1) × π
    0.12493896484375 × 3.1415926535
    Λ = 0.39250733
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.562469482421875 × 2 - 1) × π
    -0.12493896484375 × 3.1415926535
    Φ = -0.39250733408902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39250733} λ = 0.39250733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.39250733408902))-π/2
    2×atan(0.675361393173843)-π/2
    2×0.59399789864731-π/2
    1.18799579729462-1.57079632675
    φ = -0.38280053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39250733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.489013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38280053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.932855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18431 KachelY 18431 0.39250733 -0.38280053 22.489013 -21.932855
    Oben rechts KachelX + 1 18432 KachelY 18431 0.39269908 -0.38280053 22.500000 -21.932855
    Unten links KachelX 18431 KachelY + 1 18432 0.39250733 -0.38297839 22.489013 -21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 18432 KachelY + 1 18432 0.39269908 -0.38297839 22.500000 -21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.38280053--0.38297839) × R
    0.000177859999999974 × 6371000
    dl = 1133.14605999984m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.38280053--0.38297839) × R
    0.000177859999999974 × 6371000
    dr = 1133.14605999984m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.39250733-0.39269908) × cos(-0.38280053) × R
    0.000191749999999991 × 0.92762222129089 × 6371000
    do = 1133.21971470108m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.39250733-0.39269908) × cos(-0.38297839) × R
    0.000191749999999991 × 0.927555772393619 × 6371000
    du = 1133.13853812006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.38280053)-sin(-0.38297839))×
    abs(λ12)×abs(0.92762222129089-0.927555772393619)×
    abs(0.39269908-0.39250733)×6.64488972703658e-05×
    0.000191749999999991×6.64488972703658e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.64488972703658e-05×40589641000000
    ar = 1284057.46575116m²