Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18432 / 18432
↖ ↑ ↗
← S 21.943045°
E 22.500000°		 ← 1 133.14 m → S 21.943045°
E 22.510986°		 →
↑
1 133.08 m
↓
↑
1 133.08 m
↓
S 21.953235°
E 22.500000°		 ← 1 133.06 m →
1 283 893 m²		 S 21.953235°
E 22.510986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562515258789062 y=0.562515258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562515258789062 × 215)
    floor (0.562515258789062 × 32768)
    floor (18432.5)     		tx = 18432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562515258789062 × 215)
    floor (0.562515258789062 × 32768)
    floor (18432.5)     		ty = 18432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18432 / 18432 ti = "15/18432/18432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18432/18432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18432 ÷ 215
    18432 ÷ 32768     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18432 ÷ 215
    18432 ÷ 32768     		y = 0.5625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5625 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Φ = -0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3926990816875))-π/2
    2×atan(0.675231906663356)-π/2
    2×0.593908967165888-π/2
    1.18781793433178-1.57079632675     		φ = -0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18432 KachelY 18432 0.39269908 -0.38297839 22.500000 -21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 18433 KachelY 18432 0.39289083 -0.38297839 22.510986 -21.943045
    Unten links KachelX 18432 KachelY + 1 18433 0.39269908 -0.38315624 22.500000 -21.953235
    Unten rechts KachelX + 1 18433 KachelY + 1 18433 0.39289083 -0.38315624 22.510986 -21.953235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38297839--0.38315624) × R
    0.000177849999999979 × 6371000     		dl = 1133.08234999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38297839--0.38315624) × R
    0.000177849999999979 × 6371000     		dr = 1133.08234999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39289083) × cos(-0.38297839) × R
    0.000191750000000046 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 1133.13853812038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39289083) × cos(-0.38315624) × R
    0.000191750000000046 × 0.92748929789238 × 6371000     		du = 1133.05733026055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38297839)-sin(-0.38315624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.92748929789238)×R²
    abs(0.39289083-0.39269908)×6.64745012389778e-05×R²
    0.000191750000000046×6.64745012389778e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.64745012389778e-05×40589641000000     		ar = 1283893.2734369m²