Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18434 / 6146
↖ ↑ ↗
← N 74.013493°
E 22.521973°		 ← 336.44 m → N 74.013493°
E 22.532959°		 →
↑
336.45 m
↓
↑
336.45 m
↓
N 74.010467°
E 22.521973°		 ← 336.50 m →
113 205 m²		 N 74.010467°
E 22.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562576293945312 y=0.187576293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562576293945312 × 215)
    floor (0.562576293945312 × 32768)
    floor (18434.5)     		tx = 18434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187576293945312 × 215)
    floor (0.187576293945312 × 32768)
    floor (6146.5)     		ty = 6146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18434 / 6146 ti = "15/18434/6146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18434/6146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18434 ÷ 215
    18434 ÷ 32768     		x = 0.56256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6146 ÷ 215
    6146 ÷ 32768     		y = 0.18756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56256103515625 × 2 - 1) × π
    0.1251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39308258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18756103515625 × 2 - 1) × π
    0.6248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96311191324054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39308258} λ = 0.39308258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96311191324054))-π/2
    2×atan(7.12145396569057)-π/2
    2×1.43128773453415-π/2
    2.8625754690683-1.57079632675     		φ = 1.29177914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39308258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.521973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29177914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.013493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18434 KachelY 6146 0.39308258 1.29177914 22.521973 74.013493
    Oben rechts KachelX + 1 18435 KachelY 6146 0.39327432 1.29177914 22.532959 74.013493
    Unten links KachelX 18434 KachelY + 1 6147 0.39308258 1.29172633 22.521973 74.010467
    Unten rechts KachelX + 1 18435 KachelY + 1 6147 0.39327432 1.29172633 22.532959 74.010467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29177914-1.29172633) × R
    5.28100000001253e-05 × 6371000     		dl = 336.452510000798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29177914-1.29172633) × R
    5.28100000001253e-05 × 6371000     		dr = 336.452510000798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39308258-0.39327432) × cos(1.29177914) × R
    0.000191739999999996 × 0.275410977271602 × 6371000     		do = 336.435313282478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39308258-0.39327432) × cos(1.29172633) × R
    0.000191739999999996 × 0.275461744544227 × 6371000     		du = 336.497329340949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29177914)-sin(1.29172633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275410977271602-0.275461744544227)×R²
    abs(0.39327432-0.39308258)×5.07672726250963e-05×R²
    0.000191739999999996×5.07672726250963e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.07672726250963e-05×40589641000000     		ar = 113204.938362648m²