Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18436 / 10244
↖ ↑ ↗
← N 55.751850°
E 22.543945°		 ← 687.51 m → N 55.751850°
E 22.554932°		 →
↑
687.56 m
↓
↑
687.56 m
↓
N 55.745666°
E 22.543945°		 ← 687.62 m →
472 742 m²		 N 55.745666°
E 22.554932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562637329101562 y=0.312637329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562637329101562 × 215)
    floor (0.562637329101562 × 32768)
    floor (18436.5)     		tx = 18436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312637329101562 × 215)
    floor (0.312637329101562 × 32768)
    floor (10244.5)     		ty = 10244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18436 / 10244 ti = "15/18436/10244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18436/10244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18436 ÷ 215
    18436 ÷ 32768     		x = 0.5626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10244 ÷ 215
    10244 ÷ 32768     		y = 0.3126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5626220703125 × 2 - 1) × π
    0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3126220703125 × 2 - 1) × π
    0.374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17733025466858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39346607} λ = 0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17733025466858))-π/2
    2×atan(3.24569744008197)-π/2
    2×1.27192483136887-π/2
    2.54384966273774-1.57079632675     		φ = 0.97305334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97305334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.751850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18436 KachelY 10244 0.39346607 0.97305334 22.543945 55.751850
    Oben rechts KachelX + 1 18437 KachelY 10244 0.39365782 0.97305334 22.554932 55.751850
    Unten links KachelX 18436 KachelY + 1 10245 0.39346607 0.97294542 22.543945 55.745666
    Unten rechts KachelX + 1 18437 KachelY + 1 10245 0.39365782 0.97294542 22.554932 55.745666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97305334-0.97294542) × R
    0.000107920000000039 × 6371000     		dl = 687.558320000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97305334-0.97294542) × R
    0.000107920000000039 × 6371000     		dr = 687.558320000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39346607-0.39365782) × cos(0.97305334) × R
    0.000191749999999991 × 0.562778243420655 × 6371000     		do = 687.511991208693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39346607-0.39365782) × cos(0.97294542) × R
    0.000191749999999991 × 0.562867447669641 × 6371000     		du = 687.620966620521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97305334)-sin(0.97294542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562778243420655-0.562867447669641)×R²
    abs(0.39365782-0.39346607)×8.92042489860634e-05×R²
    0.000191749999999991×8.92042489860634e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.92042489860634e-05×40589641000000     		ar = 472742.05358975m²