Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18437 / 18437
↖ ↑ ↗
← S 21.993989°
E 22.554932°		 ← 1 132.73 m → S 21.993989°
E 22.565918°		 →
↑
1 132.64 m
↓
↑
1 132.64 m
↓
S 22.004175°
E 22.554932°		 ← 1 132.65 m →
1 282 928 m²		 S 22.004175°
E 22.565918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562667846679688 y=0.562667846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562667846679688 × 215)
    floor (0.562667846679688 × 32768)
    floor (18437.5)     		tx = 18437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562667846679688 × 215)
    floor (0.562667846679688 × 32768)
    floor (18437.5)     		ty = 18437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18437 / 18437 ti = "15/18437/18437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18437/18437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18437 ÷ 215
    18437 ÷ 32768     		x = 0.562652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18437 ÷ 215
    18437 ÷ 32768     		y = 0.562652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562652587890625 × 2 - 1) × π
    0.12530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39365782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562652587890625 × 2 - 1) × π
    -0.12530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.393657819679901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39365782} λ = 0.39365782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.393657819679901))-π/2
    2×atan(0.674584846410944)-π/2
    2×0.593464405385775-π/2
    1.18692881077155-1.57079632675     		φ = -0.38386752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39365782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.554932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38386752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.993989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18437 KachelY 18437 0.39365782 -0.38386752 22.554932 -21.993989
    Oben rechts KachelX + 1 18438 KachelY 18437 0.39384957 -0.38386752 22.565918 -21.993989
    Unten links KachelX 18437 KachelY + 1 18438 0.39365782 -0.38404530 22.554932 -22.004175
    Unten rechts KachelX + 1 18438 KachelY + 1 18438 0.39384957 -0.38404530 22.565918 -22.004175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38386752--0.38404530) × R
    0.000177779999999961 × 6371000     		dl = 1132.63637999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38386752--0.38404530) × R
    0.000177779999999961 × 6371000     		dr = 1132.63637999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39365782-0.39384957) × cos(-0.38386752) × R
    0.000191749999999991 × 0.927223151478951 × 6371000     		do = 1132.73219535533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39365782-0.39384957) × cos(-0.38404530) × R
    0.000191749999999991 × 0.927156556560419 × 6371000     		du = 1132.650840389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38386752)-sin(-0.38404530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927223151478951-0.927156556560419)×R²
    abs(0.39384957-0.39365782)×6.65949185321146e-05×R²
    0.000191749999999991×6.65949185321146e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.65949185321146e-05×40589641000000     		ar = 1282927.62383814m²