Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18442 / 18442
↖ ↑ ↗
← S 22.044913°
E 22.609863°		 ← 1 132.33 m → S 22.044913°
E 22.620850°		 →
↑
1 132.25 m
↓
↑
1 132.25 m
↓
S 22.055096°
E 22.609863°		 ← 1 132.24 m →
1 282 034 m²		 S 22.055096°
E 22.620850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562820434570312 y=0.562820434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562820434570312 × 215)
    floor (0.562820434570312 × 32768)
    floor (18442.5)     		tx = 18442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562820434570312 × 215)
    floor (0.562820434570312 × 32768)
    floor (18442.5)     		ty = 18442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18442 / 18442 ti = "15/18442/18442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18442/18442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18442 ÷ 215
    18442 ÷ 32768     		x = 0.56280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18442 ÷ 215
    18442 ÷ 32768     		y = 0.56280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56280517578125 × 2 - 1) × π
    0.1256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39461656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.1256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.394616557672302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39461656} λ = 0.39461656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394616557672302))-π/2
    2×atan(0.673938406222492)-π/2
    2×0.593020003199687-π/2
    1.18604000639937-1.57079632675     		φ = -0.38475632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39461656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.609863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38475632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.044913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18442 KachelY 18442 0.39461656 -0.38475632 22.609863 -22.044913
    Oben rechts KachelX + 1 18443 KachelY 18442 0.39480831 -0.38475632 22.620850 -22.044913
    Unten links KachelX 18442 KachelY + 1 18443 0.39461656 -0.38493404 22.609863 -22.055096
    Unten rechts KachelX + 1 18443 KachelY + 1 18443 0.39480831 -0.38493404 22.620850 -22.055096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38475632--0.38493404) × R
    0.000177719999999992 × 6371000     		dl = 1132.25411999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38475632--0.38493404) × R
    0.000177719999999992 × 6371000     		dr = 1132.25411999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39461656-0.39480831) × cos(-0.38475632) × R
    0.000191749999999991 × 0.926889921406103 × 6371000     		do = 1132.32510841905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39461656-0.39480831) × cos(-0.38493404) × R
    0.000191749999999991 × 0.926823202537706 × 6371000     		du = 1132.24360203071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38475632)-sin(-0.38493404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926889921406103-0.926823202537706)×R²
    abs(0.39480831-0.39461656)×6.67188683973752e-05×R²
    0.000191749999999991×6.67188683973752e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.67188683973752e-05×40589641000000     		ar = 1282033.62958916m²