Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18448 / 18448
S 22.105999°
E 22.675781°
← 1 131.84 m → S 22.105999°
E 22.686768°

1 131.81 m

1 131.81 m
S 22.116177°
E 22.675781°
← 1 131.75 m →
1 280 975 m²
S 22.116177°
E 22.686768°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563003540039062 y=0.563003540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563003540039062 × 215)
    floor (0.563003540039062 × 32768)
    floor (18448.5)
    tx = 18448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563003540039062 × 215)
    floor (0.563003540039062 × 32768)
    floor (18448.5)
    ty = 18448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18448 / 18448 ti = "15/18448/18448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18448/18448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18448 ÷ 215
    18448 ÷ 32768
    x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18448 ÷ 215
    18448 ÷ 32768
    y = 0.56298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535
    Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    -0.1259765625 × 3.1415926535
    Φ = -0.395767043263184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395767043263184))-π/2
    2×atan(0.673163495644193)-π/2
    2×0.592486931653908-π/2
    1.18497386330782-1.57079632675
    φ = -0.38582246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38582246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.105999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18448 KachelY 18448 0.39576704 -0.38582246 22.675781 -22.105999
    Oben rechts KachelX + 1 18449 KachelY 18448 0.39595879 -0.38582246 22.686768 -22.105999
    Unten links KachelX 18448 KachelY + 1 18449 0.39576704 -0.38600011 22.675781 -22.116177
    Unten rechts KachelX + 1 18449 KachelY + 1 18449 0.39595879 -0.38600011 22.686768 -22.116177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.38582246--0.38600011) × R
    0.000177650000000029 × 6371000
    dl = 1131.80815000019m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.38582246--0.38600011) × R
    0.000177650000000029 × 6371000
    dr = 1131.80815000019m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39595879) × cos(-0.38582246) × R
    0.000191749999999991 × 0.926489236878441 × 6371000
    do = 1131.8356164732m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39595879) × cos(-0.38600011) × R
    0.000191749999999991 × 0.926422368786415 × 6371000
    du = 1131.7539277874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.38582246)-sin(-0.38600011))×
    abs(λ12)×abs(0.926489236878441-0.926422368786415)×
    abs(0.39595879-0.39576704)×6.68680920264952e-05×
    0.000191749999999991×6.68680920264952e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.68680920264952e-05×40589641000000
    ar = 1280974.55059352m²