Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18448 / 18449
↖ ↑ ↗
← S 22.116177°
E 22.675781°		 ← 1 131.75 m → S 22.116177°
E 22.686768°		 →
↑
1 131.68 m
↓
↑
1 131.68 m
↓
S 22.126355°
E 22.675781°		 ← 1 131.67 m →
1 280 738 m²		 S 22.126355°
E 22.686768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563003540039062 y=0.563034057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563003540039062 × 215)
    floor (0.563003540039062 × 32768)
    floor (18448.5)     		tx = 18448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.563034057617188 × 215)
    floor (0.563034057617188 × 32768)
    floor (18449.5)     		ty = 18449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18448 / 18449 ti = "15/18448/18449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18448/18449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18448 ÷ 215
    18448 ÷ 32768     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18449 ÷ 215
    18449 ÷ 32768     		y = 0.563018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.563018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.12603759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.395958790861664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395958790861664))-π/2
    2×atan(0.673034430534876)-π/2
    2×0.592398108816115-π/2
    1.18479621763223-1.57079632675     		φ = -0.38600011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38600011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.116177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18448 KachelY 18449 0.39576704 -0.38600011 22.675781 -22.116177
    Oben rechts KachelX + 1 18449 KachelY 18449 0.39595879 -0.38600011 22.686768 -22.116177
    Unten links KachelX 18448 KachelY + 1 18450 0.39576704 -0.38617774 22.675781 -22.126355
    Unten rechts KachelX + 1 18449 KachelY + 1 18450 0.39595879 -0.38617774 22.686768 -22.126355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38600011--0.38617774) × R
    0.000177629999999984 × 6371000     		dl = 1131.6807299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38600011--0.38617774) × R
    0.000177629999999984 × 6371000     		dr = 1131.6807299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39595879) × cos(-0.38600011) × R
    0.000191749999999991 × 0.926422368786415 × 6371000     		do = 1131.7539277874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39595879) × cos(-0.38617774) × R
    0.000191749999999991 × 0.926355478989949 × 6371000     		du = 1131.67221258662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38600011)-sin(-0.38617774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926422368786415-0.926355478989949)×R²
    abs(0.39595879-0.39576704)×6.68897964656301e-05×R²
    0.000191749999999991×6.68897964656301e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.68897964656301e-05×40589641000000     		ar = 1280737.87678725m²