Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18495 / 18495
↖ ↑ ↗
← S 22.583582°
E 23.192139°		 ← 1 127.96 m → S 22.583582°
E 23.203125°		 →
↑
1 127.92 m
↓
↑
1 127.92 m
↓
S 22.593726°
E 23.192139°		 ← 1 127.88 m →
1 272 209 m²		 S 22.593726°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564437866210938 y=0.564437866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564437866210938 × 215)
    floor (0.564437866210938 × 32768)
    floor (18495.5)     		tx = 18495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.564437866210938 × 215)
    floor (0.564437866210938 × 32768)
    floor (18495.5)     		ty = 18495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18495 / 18495 ti = "15/18495/18495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18495/18495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18495 ÷ 215
    18495 ÷ 32768     		x = 0.564422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18495 ÷ 215
    18495 ÷ 32768     		y = 0.564422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564422607421875 × 2 - 1) × π
    0.12884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40477918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.564422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.12884521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.404779180391754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40477918} λ = 0.40477918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.404779180391754))-π/2
    2×atan(0.667124108679082)-π/2
    2×0.588319227313113-π/2
    1.17663845462623-1.57079632675     		φ = -0.39415787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40477918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.192139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39415787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.583582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18495 KachelY 18495 0.40477918 -0.39415787 23.192139 -22.583582
    Oben rechts KachelX + 1 18496 KachelY 18495 0.40497093 -0.39415787 23.203125 -22.583582
    Unten links KachelX 18495 KachelY + 1 18496 0.40477918 -0.39433491 23.192139 -22.593726
    Unten rechts KachelX + 1 18496 KachelY + 1 18496 0.40497093 -0.39433491 23.203125 -22.593726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39415787--0.39433491) × R
    0.000177039999999962 × 6371000     		dl = 1127.92183999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39415787--0.39433491) × R
    0.000177039999999962 × 6371000     		dr = 1127.92183999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40477918-0.40497093) × cos(-0.39415787) × R
    0.000191749999999991 × 0.923320295558168 × 6371000     		do = 1127.9643133754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40477918-0.40497093) × cos(-0.39433491) × R
    0.000191749999999991 × 0.923252292281228 × 6371000     		du = 1127.88123790316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39415787)-sin(-0.39433491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923320295558168-0.923252292281228)×R²
    abs(0.40497093-0.40477918)×6.80032769397876e-05×R²
    0.000191749999999991×6.80032769397876e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.80032769397876e-05×40589641000000     		ar = 1272208.73579957m²