Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18512 / 18512
↖ ↑ ↗
← S 22.755921°
E 23.378906°		 ← 1 126.55 m → S 22.755921°
E 23.389893°		 →
↑
1 126.52 m
↓
↑
1 126.52 m
↓
S 22.766052°
E 23.378906°		 ← 1 126.46 m →
1 269 032 m²		 S 22.766052°
E 23.389893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564956665039062 y=0.564956665039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564956665039062 × 215)
    floor (0.564956665039062 × 32768)
    floor (18512.5)     		tx = 18512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.564956665039062 × 215)
    floor (0.564956665039062 × 32768)
    floor (18512.5)     		ty = 18512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18512 / 18512 ti = "15/18512/18512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18512/18512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18512 ÷ 215
    18512 ÷ 32768     		x = 0.56494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18512 ÷ 215
    18512 ÷ 32768     		y = 0.56494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56494140625 × 2 - 1) × π
    0.1298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40803889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56494140625 × 2 - 1) × π
    -0.1298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.408038889565918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40803889} λ = 0.40803889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.408038889565918))-π/2
    2×atan(0.66495301858531)-π/2
    2×0.586815293295521-π/2
    1.17363058659104-1.57079632675     		φ = -0.39716574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40803889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39716574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.755921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18512 KachelY 18512 0.40803889 -0.39716574 23.378906 -22.755921
    Oben rechts KachelX + 1 18513 KachelY 18512 0.40823064 -0.39716574 23.389893 -22.755921
    Unten links KachelX 18512 KachelY + 1 18513 0.40803889 -0.39734256 23.378906 -22.766052
    Unten rechts KachelX + 1 18513 KachelY + 1 18513 0.40823064 -0.39734256 23.389893 -22.766052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39716574--0.39734256) × R
    0.000176820000000022 × 6371000     		dl = 1126.52022000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39716574--0.39734256) × R
    0.000176820000000022 × 6371000     		dr = 1126.52022000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40803889-0.40823064) × cos(-0.39716574) × R
    0.000191749999999991 × 0.922161005903359 × 6371000     		do = 1126.54807963097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40803889-0.40823064) × cos(-0.39734256) × R
    0.000191749999999991 × 0.922092596405815 × 6371000     		du = 1126.4645079037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39716574)-sin(-0.39734256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922161005903359-0.922092596405815)×R²
    abs(0.40823064-0.40803889)×6.84094975436089e-05×R²
    0.000191749999999991×6.84094975436089e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.84094975436089e-05×40589641000000     		ar = 1269032.12119294m²