Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1855 / 321
↖ ↑ ↗
← N 76.800739°
E146.074219°		 ← 4 463.09 m → N 76.800739°
E146.250000°		 →
↑
4 469.77 m
↓
↑
4 469.77 m
↓
N 76.760541°
E146.074219°		 ← 4 476.44 m →
19 978 825 m²		 N 76.760541°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906005859375 y=0.156982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906005859375 × 211)
    floor (0.906005859375 × 2048)
    floor (1855.5)     		tx = 1855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156982421875 × 211)
    floor (0.156982421875 × 2048)
    floor (321.5)     		ty = 321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1855 / 321 ti = "11/1855/321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1855/321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1855 ÷ 211
    1855 ÷ 2048     		x = 0.90576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 321 ÷ 211
    321 ÷ 2048     		y = 0.15673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90576171875 × 2 - 1) × π
    0.8115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54947607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15673828125 × 2 - 1) × π
    0.6865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15677698770557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54947607} λ = 2.54947607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15677698770557))-π/2
    2×atan(8.64323546389512)-π/2
    2×1.45561104258962-π/2
    2.91122208517924-1.57079632675     		φ = 1.34042576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54947607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34042576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.800739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1855 KachelY 321 2.54947607 1.34042576 146.074219 76.800739
    Oben rechts KachelX + 1 1856 KachelY 321 2.55254403 1.34042576 146.250000 76.800739
    Unten links KachelX 1855 KachelY + 1 322 2.54947607 1.33972418 146.074219 76.760541
    Unten rechts KachelX + 1 1856 KachelY + 1 322 2.55254403 1.33972418 146.250000 76.760541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34042576-1.33972418) × R
    0.00070158000000009 × 6371000     		dl = 4469.76618000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34042576-1.33972418) × R
    0.00070158000000009 × 6371000     		dr = 4469.76618000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54947607-2.55254403) × cos(1.34042576) × R
    0.00306796000000009 × 0.228338316309318 × 6371000     		do = 4463.09460198166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54947607-2.55254403) × cos(1.33972418) × R
    0.00306796000000009 × 0.229021305609969 × 6371000     		du = 4476.44429252075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34042576)-sin(1.33972418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228338316309318-0.229021305609969)×R²
    abs(2.55254403-2.54947607)×0.000682989300650944×R²
    0.00306796000000009×0.000682989300650944×6371000²
    0.00306796000000009×0.000682989300650944×40589641000000     		ar = 19978825.1272149m²