Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18559 / 18559
↖ ↑ ↗
← S 23.231251°
E 23.895264°		 ← 1 122.53 m → S 23.231251°
E 23.906250°		 →
↑
1 122.51 m
↓
↑
1 122.51 m
↓
S 23.241346°
E 23.895264°		 ← 1 122.45 m →
1 260 000 m²		 S 23.241346°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566390991210938 y=0.566390991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566390991210938 × 215)
    floor (0.566390991210938 × 32768)
    floor (18559.5)     		tx = 18559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566390991210938 × 215)
    floor (0.566390991210938 × 32768)
    floor (18559.5)     		ty = 18559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18559 / 18559 ti = "15/18559/18559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18559/18559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18559 ÷ 215
    18559 ÷ 32768     		x = 0.566375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18559 ÷ 215
    18559 ÷ 32768     		y = 0.566375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566375732421875 × 2 - 1) × π
    0.13275146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41705103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.13275146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.417051026694489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41705103} λ = 0.41705103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417051026694489))-π/2
    2×atan(0.658987293142917)-π/2
    2×0.58266725441343-π/2
    1.16533450882686-1.57079632675     		φ = -0.40546182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41705103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.895264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40546182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.231251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18559 KachelY 18559 0.41705103 -0.40546182 23.895264 -23.231251
    Oben rechts KachelX + 1 18560 KachelY 18559 0.41724277 -0.40546182 23.906250 -23.231251
    Unten links KachelX 18559 KachelY + 1 18560 0.41705103 -0.40563801 23.895264 -23.241346
    Unten rechts KachelX + 1 18560 KachelY + 1 18560 0.41724277 -0.40563801 23.906250 -23.241346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40546182--0.40563801) × R
    0.00017619000000002 × 6371000     		dl = 1122.50649000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40546182--0.40563801) × R
    0.00017619000000002 × 6371000     		dr = 1122.50649000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41705103-0.41724277) × cos(-0.40546182) × R
    0.000191739999999996 × 0.918920333416302 × 6371000     		do = 1122.53060250997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41705103-0.41724277) × cos(-0.40563801) × R
    0.000191739999999996 × 0.91885082221011 × 6371000     		du = 1122.44568932073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40546182)-sin(-0.40563801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918920333416302-0.91885082221011)×R²
    abs(0.41724277-0.41705103)×6.951120619203e-05×R²
    0.000191739999999996×6.951120619203e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.951120619203e-05×40589641000000     		ar = 1260000.23199804m²