Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1856 / 2880
↖ ↑ ↗
← S 58.813742°
W 16.875000°		 ← 5 060.67 m → S 58.813742°
W 16.787109°		 →
↑
5 057.36 m
↓
↑
5 057.36 m
↓
S 58.859224°
W 16.875000°		 ← 5 054.03 m →
25 576 842 m²		 S 58.859224°
W 16.787109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4532470703125 y=0.7032470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4532470703125 × 212)
    floor (0.4532470703125 × 4096)
    floor (1856.5)     		tx = 1856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7032470703125 × 212)
    floor (0.7032470703125 × 4096)
    floor (2880.5)     		ty = 2880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1856 / 2880 ti = "12/1856/2880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1856/2880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1856 ÷ 212
    1856 ÷ 4096     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2880 ÷ 212
    2880 ÷ 4096     		y = 0.703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.703125 × 2 - 1) × π
    -0.40625 × 3.1415926535     		Φ = -1.27627201548437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.27627201548437))-π/2
    2×atan(0.279075753670116)-π/2
    2×0.272151444228573-π/2
    0.544302888457146-1.57079632675     		φ = -1.02649344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.02649344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.813742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1856 KachelY 2880 -0.29452431 -1.02649344 -16.875000 -58.813742
    Oben rechts KachelX + 1 1857 KachelY 2880 -0.29299033 -1.02649344 -16.787109 -58.813742
    Unten links KachelX 1856 KachelY + 1 2881 -0.29452431 -1.02728725 -16.875000 -58.859224
    Unten rechts KachelX + 1 1857 KachelY + 1 2881 -0.29299033 -1.02728725 -16.787109 -58.859224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.02649344--1.02728725) × R
    0.000793810000000006 × 6371000     		dl = 5057.36351000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.02649344--1.02728725) × R
    0.000793810000000006 × 6371000     		dr = 5057.36351000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.29299033) × cos(-1.02649344) × R
    0.00153397999999999 × 0.517821844059361 × 6371000     		do = 5060.66593282296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.29299033) × cos(-1.02728725) × R
    0.00153397999999999 × 0.517142585672466 × 6371000     		du = 5054.02754972348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.02649344)-sin(-1.02728725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517821844059361-0.517142585672466)×R²
    abs(-0.29299033--0.29452431)×0.000679258386895532×R²
    0.00153397999999999×0.000679258386895532×6371000²
    0.00153397999999999×0.000679258386895532×40589641000000     		ar = 25576842.2097981m²