Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18560 / 18560
↖ ↑ ↗
← S 23.241346°
E 23.906250°		 ← 1 122.50 m → S 23.241346°
E 23.917236°		 →
↑
1 122.44 m
↓
↑
1 122.44 m
↓
S 23.251440°
E 23.906250°		 ← 1 122.42 m →
1 259 899 m²		 S 23.251440°
E 23.917236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566421508789062 y=0.566421508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566421508789062 × 215)
    floor (0.566421508789062 × 32768)
    floor (18560.5)     		tx = 18560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566421508789062 × 215)
    floor (0.566421508789062 × 32768)
    floor (18560.5)     		ty = 18560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18560 / 18560 ti = "15/18560/18560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18560/18560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18560 ÷ 215
    18560 ÷ 32768     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18560 ÷ 215
    18560 ÷ 32768     		y = 0.56640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56640625 × 2 - 1) × π
    -0.1328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.417242774292969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417242774292969))-π/2
    2×atan(0.658860946025793)-π/2
    2×0.582579157361833-π/2
    1.16515831472367-1.57079632675     		φ = -0.40563801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40563801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.241346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18560 KachelY 18560 0.41724277 -0.40563801 23.906250 -23.241346
    Oben rechts KachelX + 1 18561 KachelY 18560 0.41743452 -0.40563801 23.917236 -23.241346
    Unten links KachelX 18560 KachelY + 1 18561 0.41724277 -0.40581419 23.906250 -23.251440
    Unten rechts KachelX + 1 18561 KachelY + 1 18561 0.41743452 -0.40581419 23.917236 -23.251440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40563801--0.40581419) × R
    0.000176180000000026 × 6371000     		dl = 1122.44278000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40563801--0.40581419) × R
    0.000176180000000026 × 6371000     		dr = 1122.44278000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41743452) × cos(-0.40563801) × R
    0.000191749999999991 × 0.91885082221011 × 6371000     		do = 1122.50422930659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41743452) × cos(-0.40581419) × R
    0.000191749999999991 × 0.918781286427778 × 6371000     		du = 1122.41928166561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40563801)-sin(-0.40581419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91885082221011-0.918781286427778)×R²
    abs(0.41743452-0.41724277)×6.95357823314868e-05×R²
    0.000191749999999991×6.95357823314868e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.95357823314868e-05×40589641000000     		ar = 1259899.09653039m²