Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18560 / 22656
↖ ↑ ↗
← S 56.559482°
E 23.906250°		 ← 673.21 m → S 56.559482°
E 23.917236°		 →
↑
673.16 m
↓
↑
673.16 m
↓
S 56.565536°
E 23.906250°		 ← 673.10 m →
453 142 m²		 S 56.565536°
E 23.917236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566421508789062 y=0.691421508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566421508789062 × 215)
    floor (0.566421508789062 × 32768)
    floor (18560.5)     		tx = 18560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691421508789062 × 215)
    floor (0.691421508789062 × 32768)
    floor (22656.5)     		ty = 22656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18560 / 22656 ti = "15/18560/22656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18560/22656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18560 ÷ 215
    18560 ÷ 32768     		x = 0.56640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22656 ÷ 215
    22656 ÷ 32768     		y = 0.69140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56640625 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41724277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69140625 × 2 - 1) × π
    -0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41724277} λ = 0.41724277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20264093766797))-π/2
    2×atan(0.300399826195877)-π/2
    2×0.291823567124064-π/2
    0.583647134248128-1.57079632675     		φ = -0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41724277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18560 KachelY 22656 0.41724277 -0.98714919 23.906250 -56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 18561 KachelY 22656 0.41743452 -0.98714919 23.917236 -56.559482
    Unten links KachelX 18560 KachelY + 1 22657 0.41724277 -0.98725485 23.906250 -56.565536
    Unten rechts KachelX + 1 18561 KachelY + 1 22657 0.41743452 -0.98725485 23.917236 -56.565536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98714919--0.98725485) × R
    0.000105660000000007 × 6371000     		dl = 673.159860000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98714919--0.98725485) × R
    0.000105660000000007 × 6371000     		dr = 673.159860000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41724277-0.41743452) × cos(-0.98714919) × R
    0.000191749999999991 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 673.209937410619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41724277-0.41743452) × cos(-0.98725485) × R
    0.000191749999999991 × 0.550982806993721 × 6371000     		du = 673.102223098671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98714919)-sin(-0.98725485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.550982806993721)×R²
    abs(0.41743452-0.41724277)×8.8171947608795e-05×R²
    0.000191749999999991×8.8171947608795e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.8171947608795e-05×40589641000000     		ar = 453141.653163768m²